Expresiones algebraicas: qué son, tipos y cómo se operan

Las expresiones algebraicas permiten representar cantidades y relaciones matemáticas mediante números, letras y signos de operación. Se utilizan para describir situaciones generales, realizar cálculos y expresar reglas que pueden aplicarse a distintos valores. En este artículo aprenderás a reconocer sus elementos, clasificarlas y calcular su valor numérico.

Resumen

Las expresiones algebraicas combinan números, variables, operaciones y exponentes para representar cantidades y relaciones. Sus elementos incluyen coeficiente, parte literal, términos y término independiente. Según el número de términos pueden ser monomios, binomios, trinomios o polinomios. Solo los términos semejantes se reducen agrupando sus coeficientes. El valor numérico se obtiene sustituyendo variables y respetando el orden de operaciones. Para operar se aplican la distributiva y las reglas de potencias; el grado es el mayor exponente.

¿Qué es una expresión algebraica?

Una expresión algebraica es una combinación de números, letras, operaciones y exponentes. Las letras representan cantidades cuyo valor puede ser conocido o variar; por eso reciben el nombre de variables. Cuando la letra representa un valor que se busca en un problema concreto, también puede hablarse de incógnita.

Por ejemplo, en la expresión 7a - 3, el número 7 es un coeficiente, la letra a es la variable, el signo menos indica una resta y el número 3 forma parte del término independiente. La multiplicación entre un número y una letra suele escribirse sin el signo: 7a significa 7 · a.

La parte formada por las letras y sus exponentes se denomina parte literal. En -4x2y, el coeficiente es -4 y la parte literal es x2y. El exponente indica cuántas veces se multiplica una variable por sí misma.

Expresiones habituales con una variable

Muchas frases de la vida cotidiana pueden traducirse a expresiones algebraicas. Si llamamos n a un número, algunas representaciones son:

• El doble de un número: 2n.
• El quíntuple de un número: 5n.
• La mitad de un número: n/2.
• Un número aumentado en nueve unidades: n + 9.
• Un número disminuido en cuatro unidades: n - 4.
• El cuadrado de un número: n2.

Es importante distinguir entre el doble de un número más tres, que se expresa como 2n + 3, y el doble de la suma de un número y tres, que se escribe 2(n + 3). Los paréntesis cambian el significado de la expresión.

Elementos y tipos según el número de términos

Un término es cada parte de una expresión separada de las demás por los signos de suma o resta. En 8x2 - 3x + 6 hay tres términos: 8x2, -3x y 6. El signo que precede a un término forma parte de él, excepto cuando se trata del primer término y el signo positivo no se escribe.

Monomio

Un monomio tiene un solo término. Puede estar formado por un número, una variable o un producto de números y variables con exponentes enteros no negativos. Algunos ejemplos son:

• -9p
• 4m3
• 11rs2

En un monomio, el número es el coeficiente y las letras con sus exponentes constituyen la parte literal.

Binomio

Un binomio está formado por dos términos unidos mediante una suma o una resta. Por ejemplo:

• 5u2 + 7u
• 3ab - 10

Trinomio

Un trinomio contiene tres términos. Una expresión como q2 - 6q + 8 es un trinomio.

Polinomio

De forma general, un polinomio es una expresión formada por uno o varios monomios que se suman o se restan. En algunos cursos se reserva la palabra polinomio para las expresiones con varios términos, mientras que en otros se considera que un monomio también es un polinomio de un término. Por ejemplo, 2t4 - t2 + 5t - 1 es un polinomio de cuatro términos.

Términos semejantes

Dos términos son semejantes cuando tienen exactamente la misma parte literal, con las mismas variables elevadas a los mismos exponentes. Sus coeficientes pueden ser distintos.

• 6x2 y -x2 son semejantes.
• 4ab y 9ab son semejantes.
• 3y y 3y2 no son semejantes.
• 5mn y 5m tampoco son semejantes.

Solo los términos semejantes pueden reducirse directamente. Para hacerlo, se suman o se restan sus coeficientes y se conserva la parte literal. Así, 7r - 2r + 5r = 10r. En cambio, 3x + 4y no puede convertirse en 7xy ni en 7x, porque las partes literales son diferentes.

Valor numérico de una expresión algebraica

El valor numérico es el resultado que se obtiene al sustituir las variables por valores determinados y efectuar las operaciones respetando su orden.

Por ejemplo, calculemos el valor de 4b2 - 3b + 1 cuando b = 3:

4 · 32 - 3 · 3 + 1

Primero se calcula la potencia y después se realizan las multiplicaciones y las operaciones restantes:

4 · 9 - 9 + 1 = 36 - 9 + 1 = 28

Por tanto, el valor numérico de la expresión para b = 3 es 28. Si aparecen varias variables, hay que sustituir cada una por el valor indicado. Conviene escribir los valores entre paréntesis cuando son negativos, para no confundir los signos.

Grado de un monomio y de un polinomio

En un monomio de una sola variable, el grado es el exponente de esa variable. Por ejemplo, el grado de 12z5 es 5. Una constante distinta de cero, como 9, tiene grado 0 porque puede escribirse como 9x0.

En un polinomio de una variable, el grado es el mayor exponente de la variable cuyo coeficiente no es cero. Consideremos:

9s4 - 2s3 + 6s - 12

Los exponentes son 4, 3, 1 y 0. El mayor es 4, así que el polinomio es de grado 4. En expresiones con varias variables, el grado de un término se obtiene sumando sus exponentes; después se toma el mayor de esos grados. Por ejemplo, el término 3x2y3 tiene grado 5.

Coeficiente principal y término independiente

El coeficiente principal es el coeficiente del término de mayor grado, siempre que el polinomio esté ordenado de mayor a menor exponente. En -5v3 + 8v2 + v - 4, el grado es 3 y el coeficiente principal es -5.

El término independiente es el término que no contiene ninguna variable. En el mismo polinomio, el término independiente es -4. No debe confundirse con el coeficiente principal: uno corresponde al término sin letras y el otro acompaña al término de mayor grado.

Operaciones con expresiones algebraicas

Las operaciones algebraicas se basan en las propiedades de los números y en las reglas de las potencias. Antes de operar, hay que observar los signos, identificar los términos semejantes y aplicar correctamente la propiedad distributiva.

Suma y resta

Para sumar o restar polinomios se agrupan los términos semejantes y se combinan sus coeficientes. También puede ser útil ordenar los términos según el grado.

Veamos una suma diferente:

(4c3 - 7c + 2) + (3c3 + 5c - 9)

Agrupamos los términos del mismo tipo:

(4c3 + 3c3) + (-7c + 5c) + (2 - 9)

Ahora operamos los coeficientes:

7c3 - 2c - 7

En una resta, hay que cambiar el signo de cada término del polinomio que se resta antes de combinarlo. Por ejemplo:

(8h2 + 3h - 1) - (5h2 - 4h + 6)

Al cambiar los signos del segundo paréntesis queda:

8h2 + 3h - 1 - 5h2 + 4h - 6

El resultado reducido es 3h2 + 7h - 7.

Multiplicación

Para multiplicar monomios se multiplican los coeficientes y, cuando aparece la misma variable, se suman los exponentes. Por ejemplo:

(-3x2y) · (4xy3) = -12x3y4

La regla se basa en que xm · xn = xm+n.

Para multiplicar un monomio por un polinomio se utiliza la propiedad distributiva: el monomio debe multiplicar a todos los términos del polinomio.

2k2(3k2 - k + 5)

2k2 · 3k2 - 2k2 · k + 2k2 · 5

El resultado es 6k4 - 2k3 + 10k2.

División

Para dividir monomios se divide el coeficiente del dividendo entre el del divisor y se restan los exponentes de las variables iguales. La propiedad correspondiente es xm / xn = xm-n, siempre que el divisor no sea cero.

Por ejemplo:

18a5b2 / 6a2b = 3a3b

Se ha calculado 18 / 6 = 3, y después se han restado los exponentes: a5-2 y b2-1. Si el exponente resultante es negativo, puede ser necesario escribir la variable en el denominador para expresar el resultado con exponentes positivos.

Orden recomendado para trabajar

1. Lee la expresión y localiza los términos, los paréntesis y los signos.
2. Si hay valores asignados, sustituye las variables con cuidado.
3. Resuelve primero los paréntesis, después las potencias, las multiplicaciones y divisiones, y por último las sumas y restas.
4. En una suma o resta de polinomios, reúne únicamente los términos semejantes.
5. Comprueba el resultado revisando los signos y, si es posible, sustituyendo un valor sencillo.

La idea esencial es que las letras representan números y obedecen las mismas propiedades de las operaciones, pero no todos los términos pueden combinarse entre sí. Reconocer la parte literal, los exponentes y la estructura de cada expresión permite operar con seguridad y evitar errores frecuentes.