Qué es un número natural y sistemas de numeración: definición, características y ejemplos

Los números naturales son los que utilizamos para contar elementos, indicar posiciones y ordenar cantidades. Forman el conjunto numérico más sencillo y sirven como punto de partida para estudiar otros números y muchas operaciones matemáticas. En este artículo veremos qué son, cuáles son sus características, cómo se representan, qué lugar ocupan dentro de los conjuntos numéricos y cómo intervienen los sistemas de numeración.

Resumen

Los números naturales son enteros no negativos que sirven para contar, ordenar y expresar cantidades; según la convención, incluyen o no el cero. Forman un conjunto infinito y ordenado, en el que cada número tiene un sucesor, y están contenidos en los enteros. Se representan habitualmente mediante el sistema decimal posicional, cuyo valor depende de la posición de cada cifra. La suma y la multiplicación siempre producen naturales, pero la resta y la división no necesariamente.

Qué son los números naturales

Desde tiempos antiguos, las personas necesitaron contar animales, objetos, alimentos o días. Para expresar esas cantidades se crearon los números naturales. En la notación más habitual se escriben así: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...

Este conjunto no termina nunca: dado cualquier número natural, siempre podemos obtener otro mayor si le sumamos una unidad. Por ejemplo, después de 38 aparece 39 y después de 39 aparece 40. Por eso se dice que los números naturales forman un conjunto infinito.

Los números naturales son enteros y positivos. No incluyen números negativos como −4, fracciones como 3/5 ni números decimales no enteros como 2,7. Se representan normalmente con la letra ℕ.

Existe una diferencia de criterio respecto al cero. En algunos libros, ℕ comienza en 1 y el cero se escribe aparte; en otros, el cero se incluye y se utiliza ℕ0 para indicar el conjunto 0, 1, 2, 3... Lo importante es comprobar qué convención emplea cada ejercicio o manual.

Características principales

• Son números enteros y no negativos; según la convención utilizada, el cero puede formar parte del conjunto.
• Permiten contar y ordenar elementos.
• Están ordenados: 12 es menor que 19 y 25 es mayor que 17.
• Cada número tiene un sucesor, que se obtiene al sumarle 1.
• Incluyen números pares, como 14, y números impares, como 21.
• El conjunto de los naturales es infinito.
• Los números naturales están contenidos en el conjunto de los números enteros.

Los sistemas de numeración

Un sistema de numeración es un conjunto de reglas y símbolos que permite escribir y representar números. No debemos confundir el número, que expresa una cantidad, con la forma de escribirlo. La misma cantidad puede representarse de distintas maneras según el sistema empleado.

El sistema que utilizamos habitualmente es el sistema decimal. Se llama así porque utiliza diez símbolos básicos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Además, es un sistema posicional: el valor de una cifra depende de la posición que ocupa.

Por ejemplo, en el número 4.582, el 4 representa cuatro millares, el 5 cinco centenas, el 8 ocho decenas y el 2 dos unidades. Puede expresarse de esta forma:

4.582 = 4 × 1.000 + 5 × 100 + 8 × 10 + 2 × 1

Los puntos se utilizan habitualmente en España para separar los millares. En otros contextos pueden emplearse espacios u otra convención, pero el valor del número es el mismo si se interpreta correctamente.

Los conjuntos numéricos

Los números naturales forman parte de una clasificación más amplia. Cada conjunto reúne números con determinadas características:

• Naturales (ℕ): se utilizan principalmente para contar; según la convención, empiezan en 0 o en 1.
• Enteros (ℤ): incluyen los naturales, el cero y los números negativos: ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3...
• Racionales (ℚ): son los que pueden escribirse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero, como 3/4 o −7/2.
• Irracionales: no pueden expresarse como una fracción exacta de dos enteros; por ejemplo, la raíz cuadrada de 2.
• Reales (ℝ): incluyen los números racionales y los irracionales.
• Complejos (ℂ): amplían los números reales e incorporan la unidad imaginaria.

La relación entre algunos de estos conjuntos puede resumirse así: los naturales están dentro de los enteros; los enteros están dentro de los racionales; y los racionales forman parte de los reales. Los números irracionales también son reales, aunque no son racionales.

Representación en la recta numérica

Los números naturales pueden colocarse en una recta numérica. Para construirla, se marca un punto de referencia y se elige una unidad de longitud. Después se sitúan los números a intervalos iguales, avanzando hacia la derecha en orden creciente.

Si se representan únicamente los naturales que comienzan en 1, aparecerán 1, 2, 3, 4 y los siguientes puntos. Cuando se dibuja la recta completa de los números enteros, suele colocarse el 0 en el centro: a su izquierda se encuentran los negativos y a su derecha los positivos.

La distancia entre dos números consecutivos debe ser siempre la misma. Por ejemplo, si la separación entre 3 y 4 es de dos centímetros, también debe ser de dos centímetros entre 4 y 5 y entre 5 y 6. Esta regularidad permite comparar números: cuanto más a la derecha está un número, mayor es su valor.

Cuáles son los números naturales del 1 al 100

Para formar la lista de naturales comprendidos entre 1 y 100 se empieza en 1 y se añade una unidad cada vez. El resultado es:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99 y 100.

En esta lista aparecen números de una, dos y tres cifras. Todos son naturales porque son enteros positivos. Si se siguiera la sucesión, después de 100 vendrían 101, 102, 103 y así sucesivamente.

Para qué sirven los números naturales

Los naturales aparecen en situaciones cotidianas y en numerosas áreas del conocimiento. Se emplean para contar libros, numerar páginas, señalar plantas de un edificio, registrar participantes o indicar el orden de llegada. También constituyen la base de las primeras operaciones aritméticas.

Con ellos podemos sumar y multiplicar sin salir del conjunto. La resta y la división, en cambio, no siempre producen otro número natural. Por ejemplo, 6 − 10 = −4, que es un entero negativo, y 5 ÷ 2 = 2,5, que no es natural. Por eso se dice que los naturales están cerrados para la suma y la multiplicación, pero no siempre para la resta y la división.

Propiedades de la suma y la multiplicación

• Propiedad de cierre: al sumar o multiplicar dos números naturales se obtiene otro natural. Por ejemplo, 7 + 9 = 16 y 4 × 6 = 24.
• Propiedad conmutativa: cambiar el orden de los sumandos o de los factores no modifica el resultado. Así, 8 + 3 = 3 + 8 y 5 × 7 = 7 × 5.
• Propiedad asociativa: al sumar o multiplicar tres o más números, la forma de agruparlos no altera el resultado. Por ejemplo, (2 + 6) + 4 = 2 + (6 + 4).
• Propiedad distributiva: multiplicar una suma por un número equivale a multiplicar cada sumando por ese número y sumar después. Por ejemplo, 3 × (4 + 5) = (3 × 4) + (3 × 5).

Cómo se pueden clasificar

Los números naturales no se dividen en categorías exclusivas, pero pueden agruparse atendiendo a diferentes criterios. Una clasificación frecuente se basa en el número de cifras:

• Una cifra: del 0 al 9, si se adopta la convención que incluye el cero.
• Dos cifras: del 10 al 99; corresponden a las decenas.
• Tres cifras: del 100 al 999; corresponden a las centenas.
• Cuatro cifras: del 1.000 al 9.999; incluyen unidades de millar.

También pueden clasificarse como pares o impares. Un número natural es par si puede dividirse entre 2 sin dejar resto, como 28. Es impar si al dividirlo entre 2 queda resto 1, como 35.

Ejemplos de números naturales

Son números naturales, siguiendo la convención que comienza en 1, cantidades como 3, 18, 206, 4.071 y 825.000. Todos son enteros positivos y pueden utilizarse para contar o establecer un orden.

No son naturales −6, 1/2, 7,3 ni la raíz cuadrada de 5. El cero requiere recordar la convención adoptada: algunos autores lo incluyen en ℕ y otros reservan ℕ para los números que empiezan en 1.

Los números naturales permiten expresar cantidades enteras y positivas, se prolongan indefinidamente y se representan habitualmente mediante el sistema decimal. Comprenderlos facilita el aprendizaje posterior de los números enteros, las fracciones, los decimales y el resto de las operaciones matemáticas.