Tipos de logaritmo: logaritmos decimales y naturales

Los tipos de logaritmo más utilizados son el logaritmo decimal y el logaritmo natural. Se diferencian principalmente por la base que emplean, aunque ambos sirven para averiguar un exponente. Comprender esta relación con las potencias permite interpretar sus expresiones y aplicar correctamente sus propiedades.

Resumen

Un logaritmo indica el exponente al que hay que elevar una base para obtener un número; la base debe ser positiva y distinta de 1, y el argumento, positivo. Los logaritmos decimales usan base 10 y se escriben «log», mientras que los naturales emplean la base e y se representan como «ln». Ambos buscan exponentes, pero producen resultados distintos. El cambio de base permite expresar un logaritmo mediante otra base y ayuda a transformar expresiones.

¿Qué es un logaritmo?

Un logaritmo responde a la pregunta: ¿a qué exponente hay que elevar una base para obtener un número determinado? Se escribe así:

logb(a) = c

Esta expresión significa que bc = a. En ella, b es la base, a es el argumento y c es el resultado del logaritmo.

Por ejemplo, log2(32) = 5 porque 25 = 32. El logaritmo no busca el resultado de una potencia, sino el exponente que permite llegar a ese resultado.

Para que un logaritmo sea válido en los números reales, la base debe ser positiva y distinta de 1, y el argumento debe ser positivo. Por eso no se puede calcular, dentro de los números reales, el logaritmo de un número negativo ni el de cero.

¿Cuáles son los tipos de logaritmos más utilizados?

Hay muchas bases posibles para construir logaritmos, pero dos aparecen con especial frecuencia: los logaritmos decimales y los logaritmos naturales.

Logaritmos decimales

El logaritmo decimal tiene como base el número 10. Cuando la base es 10, normalmente se escribe simplemente «log», sin indicar el número:

log(a) = log10(a)

Esta notación se relaciona con el sistema de numeración decimal y es habitual en numerosos cálculos científicos, técnicos y escolares.

Algunos ejemplos son:

• log(0,001) = −3, porque 10−3 = 0,001.
• log(100) = 2, porque 102 = 100.
• log(10 000) = 4, porque 104 = 10 000.

También puede aparecer escrita la base de forma explícita, como en log10(7). Las dos notaciones representan el mismo tipo de logaritmo.

Logaritmos naturales

El logaritmo natural utiliza como base el número e, una constante irracional cuyo valor aproximado es 2,71828. Sus cifras decimales continúan indefinidamente y no forman un periodo.

El logaritmo natural se representa con las letras «ln»:

ln(a) = loge(a)

Por ejemplo, ln(e3) = 3, ya que el logaritmo natural pregunta qué exponente tiene e en esa potencia. Estos logaritmos son especialmente importantes al estudiar crecimiento y decrecimiento continuos, funciones exponenciales y cálculo diferencial.

Diferencia entre los tipos de logaritmos

La diferencia esencial está en la base:

• En el logaritmo decimal, la base es 10 y suele escribirse «log».
• En el logaritmo natural, la base es e y se escribe «ln».

El procedimiento general es el mismo: hallar un exponente. Lo que cambia es el número que se utiliza como base. Por eso no deben confundirse, por ejemplo, log(25) con ln(25): tienen el mismo argumento, pero representan logaritmos con bases diferentes y, en consecuencia, producen resultados distintos.

Cuando se necesita expresar un logaritmo de una base en otra, puede utilizarse la fórmula del cambio de base:

logb(a) = log(a) / log(b)

También puede escribirse usando logaritmos naturales:

logb(a) = ln(a) / ln(b)

En ambos casos, el argumento a debe ser positivo y la base b debe ser positiva y diferente de 1.

Ejemplos para entender los logaritmos

La mejor forma de interpretar un logaritmo es transformarlo en una igualdad de potencias:

• log3(81) = 4, porque 34 = 81.
• log7(1) = 0, porque 70 = 1.
• log4(1/16) = −2, porque 4−2 = 1/16.
• ln(e−2) = −2, porque el exponente de e es −2.

En el tercer caso aparece un resultado negativo. Esto es posible: una base positiva elevada a un exponente negativo produce un número positivo menor que 1. Lo que no existe en los números reales es el logaritmo cuyo argumento sea negativo o igual a cero.

Propiedades de los logaritmos

Las propiedades permiten transformar expresiones logarítmicas y resolver cálculos con mayor facilidad. En las fórmulas siguientes, las bases cumplen las condiciones habituales y los números implicados son positivos cuando aparecen como argumentos.

• Logaritmo de uno: logb(1) = 0, porque b0 = 1.
• Logaritmo de la propia base: logb(b) = 1, porque b1 = b.
• Logaritmo de una potencia de la base: logb(br) = r.
• Logaritmo de un producto: logb(x · y) = logb(x) + logb(y).
• Logaritmo de un cociente: logb(x / y) = logb(x) − logb(y).
• Logaritmo de una potencia: logb(xr) = r · logb(x).
• Logaritmo de una raíz: logb(√[n](x)) = logb(x) / n.

Por ejemplo, para separar el logaritmo de un producto se aplica la propiedad correspondiente: log5(5 · 25) = log5(5) + log5(25) = 1 + 2 = 3. El resultado coincide con log5(125), porque 5 · 25 = 125.

Es importante no aplicar estas reglas a una suma. En general, logb(x + y) no es igual a logb(x) + logb(y). Las propiedades de producto, cociente, potencias y raíces solo deben utilizarse en las situaciones que indican sus fórmulas.