Ejercicios de programación lineal resueltos 1: ejemplo explicado paso a paso

La programación lineal permite encontrar la mejor solución posible cuando una cantidad debe maximizarse o minimizarse y existen varias condiciones que limitan las opciones.

Vamos a resolver un caso práctico diferente:

Un taller fabrica lámparas estándar y lámparas de diseño. Para producir una lámpara estándar se necesitan 2 horas de montaje y 1 unidad de metal. Cada lámpara de diseño requiere 3 horas y 2 unidades de metal. El taller dispone de 24 horas y 14 unidades de metal. Además, debe fabricar al menos 2 lámparas de diseño. El beneficio es de 32 euros por cada lámpara estándar y de 55 euros por cada lámpara de diseño. ¿Cuántas lámparas de cada tipo debe fabricar para obtener el mayor beneficio?

Resumen

La programación lineal busca maximizar o minimizar una cantidad respetando restricciones. En el problema, x representa lámparas estándar e y, lámparas de diseño. Se maximiza la función objetivo B = 32x + 55y, sujeta a 2x + 3y ≤ 24, x + 2y ≤ 14, x ≥ 0 e y ≥ 2. La región factible se obtiene representando las inecuaciones; el óptimo está en uno de sus vértices. El máximo es 403 euros en (4, 5): 4 lámparas estándar y 5 de diseño.

1. Elegir las incógnitas

Llamamos x al número de lámparas estándar y y al número de lámparas de diseño.

2. Escribir la función objetivo

El beneficio total que queremos maximizar es:

B(x,y) = 32x + 55y

3. Plantear las restricciones

Las horas de montaje limitan la producción:

2x + 3y ≤ 24

También hay una limitación de metal:

x + 2y ≤ 14

Como no se pueden fabricar cantidades negativas y deben producirse al menos dos lámparas de diseño:

x ≥ 0,   y ≥ 2

4. Determinar la región factible

Se representan las rectas asociadas a las restricciones en unos ejes. La zona que cumple todas las desigualdades es la región factible. Para hallar el máximo basta con estudiar sus vértices, porque en un problema de programación lineal la solución óptima se encuentra en uno de ellos.

En este caso, los vértices relevantes son:

• (0, 2)
• (0, 7)
• (4, 5), donde se cruzan las dos restricciones de recursos
• (9, 2)

5. Comparar los beneficios

Sustituimos cada vértice en la función objetivo:

• En (0, 2): B = 110 euros.
• En (0, 7): B = 385 euros.
• En (4, 5): B = 32 · 4 + 55 · 5 = 403 euros.
• En (9, 2): B = 32 · 9 + 55 · 2 = 398 euros.

El valor más alto es 403 euros. Por tanto, la solución óptima consiste en fabricar 4 lámparas estándar y 5 lámparas de diseño.

El procedimiento general es: definir las variables, formular la función objetivo, convertir las condiciones en inecuaciones, representar la región factible y comparar el valor de la función en sus vértices.