Ejercicios de programación lineal resueltos 2: problema de maximización

La programación lineal permite encontrar el valor máximo o mínimo de una función cuando existen varias condiciones que limitan las posibles soluciones. Para aprender a resolver estos problemas, conviene traducir primero la situación a variables, restricciones y una función objetivo.

Vamos a analizar un caso diferente:

Un taller fabrica lámparas y altavoces. Cada lámpara proporciona un beneficio de 50 euros y cada altavoz, de 30 euros. Para producirlos dispone de 40 horas de trabajo y 50 unidades de material. Una lámpara necesita 2 horas y 1 unidad de material; un altavoz requiere 1 hora y 2 unidades de material. ¿Cuántos productos debe fabricar para obtener el beneficio máximo?

Resumen

La programación lineal permite maximizar o minimizar una función sometida a restricciones. En el problema del taller, x representa lámparas e y altavoces, con x,y≥0. El beneficio es B=50x+30y, limitado por 2x+y≤40 horas y x+2y≤50 unidades de material. La región factible tiene vértices (0,0), (20,0), (0,25) y (10,20). Al evaluar la función, el beneficio máximo es 1100 euros, obtenido al fabricar 10 lámparas y 20 altavoces. El procedimiento general consiste en identificar variables, plantear restricciones y comparar los vértices.

1. Identificar las incógnitas

Llamamos x al número de lámparas y y al número de altavoces. Como no se pueden fabricar cantidades negativas:

x ≥ 0 y y ≥ 0.

2. Escribir la función objetivo

El beneficio total se calcula multiplicando cada cantidad por su beneficio. Por tanto, la función que queremos maximizar es:

B = 50x + 30y.

3. Plantear las restricciones

El tiempo disponible origina la primera inecuación:

2x + y ≤ 40.

El material disponible produce la segunda:

x + 2y ≤ 50.

El sistema completo queda formado por estas dos restricciones y las condiciones de no negatividad.

4. Representar la región factible

En el plano se dibujan las rectas asociadas a las inecuaciones y se conserva la zona que cumple todas las condiciones. Los vértices de esa región son los puntos que debemos comprobar:

• (0, 0)
• (20, 0), obtenido al cortar la primera recta con el eje x.
• (0, 25), obtenido al cortar la segunda recta con el eje y.
• (15, 10), punto de intersección de las dos rectas.

Para hallar este último punto se resuelve el sistema 2x + y = 40 y x + 2y = 50. De ahí se obtiene x = 10 y y = 20. Por tanto, la lista correcta de vértices debe sustituir el punto anterior por (10, 20).

5. Calcular la solución óptima

Evaluamos la función de beneficio en los vértices:

• (0, 0): B = 0 euros.
• (20, 0): B = 1000 euros.
• (0, 25): B = 750 euros.
• (10, 20): B = 1100 euros.

El beneficio mayor es de 1100 euros. Por ello, el taller debe fabricar 10 lámparas y 20 altavoces, siempre que el modelo permita producir cantidades enteras y se mantengan las condiciones indicadas.

El procedimiento general consiste en identificar las variables, construir la función objetivo, expresar las limitaciones mediante inecuaciones, localizar la región factible y comparar el valor de la función en sus vértices.