Operaciones con radicales: reglas, ejemplos y ejercicios

Las operaciones con radicales permiten sumar, restar, multiplicar, dividir, simplificar y transformar expresiones que contienen raíces. Para trabajar con ellas correctamente es importante reconocer primero sus elementos y comprobar si los radicales tienen el mismo índice o si pueden convertirse a un índice común.

En este artículo aprenderás las reglas principales, verás ejemplos diferentes y encontrarás algunas indicaciones para resolver ecuaciones con radicales. Conviene simplificar las raíces siempre que sea posible y revisar las condiciones que deben cumplir los números que aparecen dentro de ellas.

¿Qué son los radicales?

Un radical es una expresión matemática que contiene una raíz. La raíz es la operación inversa de una potencia: por ejemplo, la raíz cuadrada de 49 es 7 porque 7 elevado al cuadrado es 49.

De forma general, un radical puede escribirse como raíz de índice n de a. El número n indica qué raíz se calcula y a es el número o expresión situada dentro del símbolo radical. Si no aparece ningún índice, se entiende que es 2 y se trata de una raíz cuadrada.

En una raíz de índice par, el radicando debe ser mayor o igual que cero si trabajamos con números reales. En cambio, las raíces de índice impar también pueden tener radicandos negativos. Por ejemplo, existe la raíz cúbica de -27, que es -3.

Elementos de un radical

En la expresión 4 raíz cuadrada de 11 aparecen los siguientes elementos:

• Coeficiente: es el número que multiplica al radical. En este caso, el coeficiente es 4.
• Índice: señala el tipo de raíz. Como se trata de una raíz cuadrada, el índice es 2, aunque normalmente no se escribe.
• Radicando: es el número o la expresión que queda dentro de la raíz. Aquí es 11.

Identificar estas partes ayuda a saber qué se puede operar y qué transformaciones son válidas.

Simplificación de radicales

Simplificar un radical consiste en extraer del radicando los factores que forman potencias perfectas. Para ello, se descompone el número en factores y se buscan grupos de tantos factores iguales como indique el índice.

Por ejemplo:

raíz cuadrada de 72 = raíz cuadrada de (36 · 2) = 6 raíz cuadrada de 2

El 36 sale de la raíz porque es un cuadrado perfecto. También puede simplificarse una raíz cúbica:

raíz cúbica de 54 = raíz cúbica de (27 · 2) = 3 raíz cúbica de 2

Antes de sumar, restar, multiplicar o comparar radicales, suele ser útil simplificarlos. Dos radicales que al principio parecen distintos pueden convertirse en radicales semejantes después de esta operación.

Suma de radicales

Solo se pueden sumar directamente los radicales semejantes. Esto significa que, una vez simplificados, deben tener el mismo índice y el mismo radicando. En ese caso se suman los coeficientes y se conserva el radical.

La regla general es:

a raíz n de b + c raíz n de b = (a + c) raíz n de b

Por ejemplo:

7 raíz cuadrada de 5 + 2 raíz cuadrada de 5 = 9 raíz cuadrada de 5

Si los radicales no son semejantes, no se pueden reunir en uno solo. Así, raíz cuadrada de 6 + raíz cuadrada de 10 no se transforma en raíz cuadrada de 16. La suma de radicales no funciona de esa manera.

También hay que simplificar antes de decidir si son semejantes. Por ejemplo:

raíz cuadrada de 12 + raíz cuadrada de 27 = 2 raíz cuadrada de 3 + 3 raíz cuadrada de 3 = 5 raíz cuadrada de 3

Resta de radicales

La resta sigue la misma condición que la suma: solo se restan directamente radicales con el mismo índice y el mismo radicando después de simplificarlos.

Por ejemplo:

9 raíz cúbica de 4 - 5 raíz cúbica de 4 = 4 raíz cúbica de 4

Cuando hay que simplificar previamente, el procedimiento puede ser más largo. Considera esta expresión:

raíz cuadrada de 45 - raíz cuadrada de 20 = 3 raíz cuadrada de 5 - 2 raíz cuadrada de 5 = raíz cuadrada de 5

En cambio, raíz cuadrada de 7 - raíz cuadrada de 2 no puede reducirse mediante una resta de radicandos, porque los radicales no son semejantes.

Multiplicación de radicales

Los radicales pueden multiplicarse aunque no sean semejantes. El procedimiento depende de si tienen el mismo índice o índices diferentes.

Multiplicación con el mismo índice

Cuando dos radicales tienen igual índice, se multiplican sus radicandos y se conserva ese índice:

raíz cuarta de 3 · raíz cuarta de 12 = raíz cuarta de (3 · 12) = raíz cuarta de 36

Después se simplifica si es posible:

raíz cuarta de 36 = raíz cuarta de (4 · 9) = raíz cuarta de 36, que también puede escribirse como raíz cuarta de (2² · 3²). Si no aparece un grupo completo de cuatro factores iguales, no se extrae ningún factor entero mediante esta descomposición. En productos concretos, conviene revisar siempre la factorización antes de dar el resultado final.

Si hay coeficientes fuera de las raíces, se multiplican también. Por ejemplo:

2 raíz cuadrada de 3 · 5 raíz cuadrada de 6 = 10 raíz cuadrada de 18 = 30 raíz cuadrada de 2

Multiplicación con índices diferentes

Para multiplicar radicales con índices distintos, primero se busca un índice común. Habitualmente se utiliza el mínimo común múltiplo de los índices y se transforma cada radical mediante potencias equivalentes.

Por ejemplo, para multiplicar raíz cuadrada de 5 por raíz cúbica de 25, el índice común es 6:

raíz cuadrada de 5 = raíz sexta de 5³

raíz cúbica de 25 = raíz sexta de 25²

Por tanto:

raíz cuadrada de 5 · raíz cúbica de 25 = raíz sexta de (5³ · 25²)

En ejercicios de este tipo también puede ser más práctico expresar los radicales como potencias con exponente fraccionario, siempre que se maneje correctamente esa notación.

División de radicales

La división se parece a la multiplicación. Con el mismo índice, se dividen los radicandos y se mantiene el índice, siempre que el denominador no sea cero.

Por ejemplo:

raíz quinta de 96 / raíz quinta de 3 = raíz quinta de (96 / 3) = raíz quinta de 32

Como 32 = 2⁵, el resultado es 2.

Si los índices son diferentes, se convierten primero a un índice común. Para dividir raíz cuadrada de 18 entre raíz cúbica de 2, se puede utilizar el índice 6:

raíz cuadrada de 18 = raíz sexta de 18³

raíz cúbica de 2 = raíz sexta de 2²

La división se expresa entonces como el cociente de esos dos radicales de índice 6 y se simplifica el radicando resultante cuando sea posible.

Potencias de radicales

Al elevar un radical a una potencia, la potencia afecta a toda la raíz. La propiedad fundamental es:

(raíz n de a) elevado a m = raíz n de (a elevado a m)

Por ejemplo:

(raíz cúbica de 4)² = raíz cúbica de (4²) = raíz cúbica de 16

También puede ocurrir que el exponente coincida con el índice. En ese caso, la raíz y la potencia se cancelan bajo las condiciones adecuadas:

(raíz cuarta de 7)⁴ = 7

No debe confundirse esta propiedad con multiplicar el radicando por el exponente. Elevar una raíz al cuadrado no significa convertir raíz cuadrada de 9 en raíz cuadrada de 18; significa elevar al cuadrado toda la expresión radical.

Raíz de un radical

Cuando se calcula una raíz de otra raíz, se conserva el radicando y se multiplican los índices:

raíz p de (raíz q de a) = raíz (p · q) de a

Por ejemplo:

raíz cuadrada de (raíz quinta de 32) = raíz décima de 32

Esta propiedad también puede aplicarse cuando hay más de dos raíces. Se multiplican todos los índices que aparecen, mientras el radicando permanece en el interior.

Racionalización de denominadores

Racionalizar consiste en eliminar un radical que aparece en el denominador de una fracción. Para ello se multiplica el numerador y el denominador por una expresión que permita convertir el denominador en un número racional.

Si el denominador es una sola raíz cuadrada, se multiplica por esa misma raíz. Por ejemplo:

3 / raíz cuadrada de 5 = (3 · raíz cuadrada de 5) / (raíz cuadrada de 5 · raíz cuadrada de 5) = 3 raíz cuadrada de 5 / 5

Cuando el denominador contiene una suma o una resta, suele utilizarse el conjugado. El conjugado de raíz cuadrada de 3 + 2 es raíz cuadrada de 3 - 2. Al multiplicar una suma por su conjugado se aplica la diferencia de cuadrados:

(raíz cuadrada de 3 + 2)(raíz cuadrada de 3 - 2) = 3 - 4 = -1

La racionalización no cambia el valor de la fracción: solo modifica su forma para que el denominador no contenga radicales.

¿Cómo se resuelven las ecuaciones con radicales?

En una ecuación con radicales, la incógnita aparece dentro de una raíz. Para despejarla, normalmente se aísla primero el radical y después se elevan ambos miembros a una potencia igual al índice de la raíz.

Resolvamos una ecuación nueva:

• raíz cuadrada de (2x - 1) = 5
• Elevamos al cuadrado ambos miembros: 2x - 1 = 25.
• Sumamos 1 a los dos lados: 2x = 26.
• Dividimos entre 2: x = 13.

Es necesario comprobar la solución en la ecuación inicial: raíz cuadrada de (2 · 13 - 1) = raíz cuadrada de 25 = 5. Por tanto, x = 13 es válida.

La comprobación es especialmente importante porque elevar al cuadrado puede introducir soluciones que no cumplen la ecuación original. Además, en una raíz cuadrada el radicando debe ser mayor o igual que cero.

En una ecuación con una raíz de índice impar, se eleva cada miembro a ese índice. Por ejemplo, si raíz cúbica de (x + 4) = 3, entonces x + 4 = 27 y, por tanto, x = 23.

Errores frecuentes

• Sumar radicandos: raíz cuadrada de 2 + raíz cuadrada de 8 no es raíz cuadrada de 10. Primero hay que simplificar y comprobar si quedan radicales semejantes.
• Olvidar los coeficientes: en 3 raíz cuadrada de 7 + 4 raíz cuadrada de 7 se suman 3 y 4, no los números que están dentro de la raíz.
• Confundir el índice con el exponente: una raíz cuarta y una raíz cuadrada no se operan como si fueran del mismo tipo.
• Elevar solo una parte de la expresión: en (2 raíz cuadrada de 3)² hay que elevar al cuadrado tanto el 2 como la raíz.
• No comprobar una ecuación: después de elevar ambos miembros, hay que sustituir el resultado en la expresión original.

Ejercicios para practicar

Resuelve las siguientes actividades. Intenta simplificar los radicales antes de operar:

1. 4 raíz cuadrada de 6 + 3 raíz cuadrada de 6 - raíz cuadrada de 6
2. raíz cuadrada de 75 - raíz cuadrada de 12
3. raíz cúbica de 6 · raíz cúbica de 36
4. raíz cuadrada de 48 / raíz cuadrada de 3
5. raíz cuarta de (raíz cúbica de 9)
6. (raíz cuadrada de 11)³
7. raíz cuadrada de (3x + 1) = 7

Soluciones

1. Como son radicales semejantes: (4 + 3 - 1) raíz cuadrada de 6 = 6 raíz cuadrada de 6.

2. raíz cuadrada de 75 - raíz cuadrada de 12 = 5 raíz cuadrada de 3 - 2 raíz cuadrada de 3 = 3 raíz cuadrada de 3.

3. raíz cúbica de 6 · raíz cúbica de 36 = raíz cúbica de 216 = 6.

4. raíz cuadrada de 48 / raíz cuadrada de 3 = raíz cuadrada de 16 = 4.

5. Al multiplicar los índices, raíz cuarta de (raíz cúbica de 9) = raíz duodécima de 9.

6. (raíz cuadrada de 11)³ = raíz cuadrada de 11³ = 11 raíz cuadrada de 11.

7. Elevamos al cuadrado: 3x + 1 = 49. Entonces 3x = 48 y x = 16. Comprobación: raíz cuadrada de (3 · 16 + 1) = raíz cuadrada de 49 = 7.