Propiedad distributiva de la suma: explicación, ejemplos y ejercicios

La propiedad distributiva de la suma permite multiplicar un número por una suma sin tener que resolver primero lo que aparece dentro del paréntesis. Para aplicarla, se multiplica el número exterior por cada uno de los sumandos y después se suman los resultados.

Su regla general es:

a · (b + c) = a · b + a · c

El número situado fuera del paréntesis se llama factor común. Los números que están dentro son los sumandos. La propiedad indica que ambas formas de calcular conducen al mismo resultado:

• Primero se suman los términos del paréntesis y después se multiplica.
• Se multiplica el factor exterior por cada término y finalmente se suman los productos.

Resumen

La propiedad distributiva de la suma permite transformar una multiplicación por una suma en varios productos: el factor exterior se multiplica por cada sumando y después se suman los resultados. Se expresa como a · (b + c) = a · b + a · c y también se aplica con más de dos términos, números, letras o factores negativos. Es especialmente útil para eliminar paréntesis y simplificar expresiones, respetando los signos y reduciendo términos semejantes correctamente.

¿Cómo se aplica la propiedad distributiva?

Observa esta operación:

7 · (3 + 6)

Podemos resolverla directamente:

7 · (3 + 6) = 7 · 9 = 63

También podemos distribuir el 7 entre los dos sumandos:

7 · (3 + 6) = 7 · 3 + 7 · 6 = 21 + 42 = 63

El resultado coincide porque la propiedad distributiva transforma una multiplicación por una suma en una suma de multiplicaciones. El factor exterior debe multiplicar a todos los términos que estén dentro del paréntesis.

La propiedad con tres sumandos

La distribución no se limita a una suma de dos términos. También puede aplicarse cuando aparecen tres o más:

5 · (2 + 4 + 7) = 5 · 2 + 5 · 4 + 5 · 7

5 · (2 + 4 + 7) = 10 + 20 + 35 = 65

Si se calcula primero el paréntesis, se obtiene igualmente:

5 · 13 = 65

Ejemplos de la propiedad distributiva de la suma

Estos casos muestran cómo se utiliza la propiedad tanto con números como con expresiones algebraicas.

Ejemplo con números naturales

9 · (4 + 3) = 9 · 4 + 9 · 3

9 · 7 = 36 + 27 = 63

La operación original también da 63 si se resuelve el paréntesis antes de multiplicar. Distribuir puede resultar útil cuando los productos parciales son fáciles de calcular.

Ejemplo con una incógnita dentro del paréntesis

4 · (x + 8) = 4 · x + 4 · 8

4 · (x + 8) = 4x + 32

Como x representa un número desconocido, no es posible obtener un resultado numérico concreto. La expresión queda simplificada como 4x + 32.

Ejemplo con una incógnita como factor exterior

3y · (2 + 5) = 3y · 2 + 3y · 5

3y · (2 + 5) = 6y + 15y = 21y

En este caso, primero se distribuye el factor 3y y luego se reducen los términos semejantes: 6y y 15y tienen la misma parte literal y pueden sumarse.

Ejemplo con dos términos algebraicos

2a · (a + 6) = 2a · a + 2a · 6

2a · a = 2a2 y 2a · 6 = 12a. Por tanto:

2a · (a + 6) = 2a2 + 12a

Al multiplicar potencias con la misma base, los exponentes se suman: a · a = a2. El resultado no es 2a + 12a, porque el primer producto contiene dos factores a.

Un caso con varios términos

−2 · (5 + x + 3y) = −2 · 5 + (−2) · x + (−2) · 3y

−2 · (5 + x + 3y) = −10 − 2x − 6y

Cuando el factor exterior es negativo, el signo negativo afecta a cada término. Es importante escribirlo mentalmente junto a cada multiplicación para no olvidar ningún cambio de signo.

¿Cómo saber cuándo usarla?

La propiedad distributiva aparece cuando una multiplicación tiene como uno de sus factores una suma agrupada entre paréntesis. La estructura más habitual es:

factor · (primer sumando + segundo sumando)

Por ejemplo, en 6 · (m + 9), el 6 se debe multiplicar por m y también por 9:

6 · (m + 9) = 6m + 54

No se puede multiplicar el factor exterior por un solo término y dejar el otro sin multiplicar. Una transformación como 6 · (m + 9) = 6m + 9 sería incorrecta, porque se ha omitido el producto 6 · 9.

Para evitar errores, se puede seguir este procedimiento:

1. Identifica el factor que está fuera del paréntesis.
2. Observa todos los términos que aparecen dentro.
3. Multiplica el factor exterior por cada uno de esos términos.
4. Conserva los signos y simplifica los productos.
5. Si quedan términos semejantes, súmalos o réstalos.

La propiedad no es obligatoria en todas las operaciones. Si los términos del paréntesis son números sencillos, a veces resulta más rápido sumarlos primero. En cambio, distribuir es especialmente útil cuando dentro hay letras o cuando se quiere eliminar un paréntesis.

Relación con otras propiedades

La propiedad distributiva relaciona la multiplicación con la suma. No debe confundirse con las propiedades propias de la suma, que describen qué ocurre cuando se cambian de orden o se agrupan los sumandos.

• Propiedad conmutativa de la suma: cambiar el orden no modifica el resultado. Por ejemplo, 11 + 4 = 4 + 11.
• Propiedad asociativa de la suma: al sumar tres o más números, se pueden cambiar los agrupamientos sin alterar el resultado. Por ejemplo, (2 + 7) + 5 = 2 + (7 + 5).
• Elemento neutro de la suma: sumar cero no cambia el número. Por ejemplo, 18 + 0 = 18.

La distributiva se diferencia de estas propiedades porque no solo reorganiza una suma: convierte una multiplicación por una suma en varios productos que después se suman.

Comprobación de una igualdad distributiva

Para comprobar que se ha aplicado correctamente, se pueden calcular por separado los dos miembros de la igualdad. Por ejemplo:

8 · (6 + 2) = 8 · 6 + 8 · 2

Miembro izquierdo: 8 · (6 + 2) = 8 · 8 = 64.

Miembro derecho: 8 · 6 + 8 · 2 = 48 + 16 = 64.

Como ambos miembros valen 64, la igualdad es correcta.

Ejercicios de propiedad distributiva

Aplica la propiedad y simplifica las expresiones. En los ejercicios con letras, deja el resultado en forma algebraica.

1. 6 · (7 + 5)
2. 8 · (9 + 4)
3. 5 · (z + 12)
4. 4b · (3 + 2)
5. 7c · (c + 1)
6. −3 · (4 + 2x + y)
7. Una biblioteca prepara 6 lotes iguales. Cada lote contiene 14 cuadernos y 9 carpetas. ¿Cuántos materiales prepara en total?
8. En un taller se montan 5 cajas. Cada caja lleva 8 piezas pequeñas y 6 piezas grandes. ¿Cuántas piezas se necesitan?

Soluciones

1. 6 · (7 + 5) = 6 · 7 + 6 · 5 = 42 + 30 = 72.

2. 8 · (9 + 4) = 8 · 9 + 8 · 4 = 72 + 32 = 104.

3. 5 · (z + 12) = 5z + 60.

4. 4b · (3 + 2) = 4b · 3 + 4b · 2 = 12b + 8b = 20b.

5. 7c · (c + 1) = 7c · c + 7c · 1 = 7c2 + 7c.

6. −3 · (4 + 2x + y) = −12 − 6x − 3y.

7. Hay 6 grupos con 14 + 9 materiales cada uno:

6 · (14 + 9) = 6 · 14 + 6 · 9 = 84 + 54 = 138.

Se preparan 138 materiales.

8. Cada caja contiene 8 + 6 piezas:

5 · (8 + 6) = 5 · 8 + 5 · 6 = 40 + 30 = 70.

Se necesitan 70 piezas.