Qué es la propiedad asociativa de la suma: explicación y ejemplos

La propiedad asociativa de la suma indica que la forma de agrupar tres o más sumandos no cambia el resultado final. Podemos calcular primero los dos números de la izquierda o, en cambio, comenzar por los dos de la derecha: si los sumandos son los mismos, el total será igual.

Esta propiedad es útil para ordenar los cálculos y escoger la agrupación que resulte más sencilla. Para comprenderla, conviene repasar primero qué significa sumar y cómo se escriben las expresiones de una adición.

Resumen

La propiedad asociativa de la suma establece que la forma de agrupar tres o más sumandos no cambia el resultado final: (a + b) + c = a + (b + c). Los paréntesis indican qué operación se realiza primero, pero no alteran el orden de los números. Permite escoger la agrupación más sencilla. Se diferencia de la propiedad conmutativa, que cambia el orden, y del elemento neutro, que es el cero. No se aplica del mismo modo a la resta.

¿Qué es la suma?

La suma, también llamada adición, es una operación aritmética que permite reunir cantidades o añadir una cantidad a otra. Los números que se juntan reciben el nombre de sumandos, y el resultado se llama suma o total.

El signo de la suma es +. Una operación puede representarse de esta manera:

m + n = r

En esta expresión, m y n son los sumandos, mientras que r es el resultado. Por ejemplo:

• 7 + 5 = 12
• 11 + 6 = 17
• 14 + 9 = 23

En todos los casos se están combinando dos cantidades para obtener una cantidad total. Cuando aparecen tres o más números, también se pueden realizar agrupaciones para indicar qué sumandos se calculan primero.

¿Qué es la propiedad asociativa de la suma?

La propiedad asociativa establece que el resultado de una suma no depende de cómo agrupemos sus sumandos. La agrupación se señala mediante paréntesis, pero los paréntesis no modifican el orden de los números: solo indican qué operación se hace antes.

Para tres números cualesquiera, la forma habitual de expresar esta propiedad es:

(a + b) + c = a + (b + c)

En el primer miembro se suma primero a con b. En el segundo, se calcula antes b con c. Aunque los pasos intermedios sean distintos, ambos procedimientos conducen al mismo resultado.

Ejemplo explicado paso a paso

Observa la suma 9 + 3 + 7.

• (9 + 3) + 7 = 12 + 7 = 19
• 9 + (3 + 7) = 9 + 10 = 19

En el primer procedimiento se empieza por 9 + 3; en el segundo, por 3 + 7. El total coincide: en los dos casos es 19.

También podemos elegir una agrupación que facilite el cálculo. Por ejemplo, en 18 + 2 + 6 conviene sumar primero 18 y 2, porque forman una decena completa:

(18 + 2) + 6 = 20 + 6 = 26

Si se agrupa de otra manera, la igualdad se mantiene:

18 + (2 + 6) = 18 + 8 = 26

Por tanto, la propiedad no permite cambiar los números ni convertir una suma en otra operación. Únicamente permite cambiar el modo de asociarlos mediante paréntesis.

Cómo aplicar la propiedad asociativa

Para utilizarla correctamente, sigue estos pasos:

1. Identifica los sumandos de la expresión.
2. Coloca paréntesis alrededor de dos sumandos para indicar cuál se calcula primero.
3. Resuelve esa suma parcial.
4. Suma el resultado obtenido con el número que queda fuera del paréntesis.
5. Comprueba, si es necesario, que otra agrupación produce el mismo total.

Por ejemplo, en la operación 24 + 5 + 6 se pueden hacer dos agrupaciones:

• (24 + 5) + 6 = 29 + 6 = 35
• 24 + (5 + 6) = 24 + 11 = 35

Con más de tres sumandos se pueden formar varias agrupaciones. La idea es la misma: los números y los signos de suma permanecen, pero se decide qué parejas se calculan antes.

Propiedades relacionadas con la suma

Propiedad conmutativa

La propiedad conmutativa afirma que el orden de los sumandos no altera la suma. Es decir, podemos intercambiar sus posiciones:

13 + 4 = 4 + 13 = 17

Esta propiedad y la asociativa no significan lo mismo. La conmutativa cambia el orden de los números; la asociativa cambia su agrupación.

En una expresión con tres sumandos pueden utilizarse ambas propiedades. Por ejemplo, 5 + 12 + 3 puede reorganizarse como 12 + 5 + 3 y después agruparse como 12 + (5 + 3).

Propiedad del elemento neutro

El elemento neutro de la suma es el cero, porque añadirlo no modifica el número:

• 21 + 0 = 21
• 0 + 38 = 38

Esta propiedad es diferente de la asociativa. El elemento neutro explica qué ocurre al sumar cero; la propiedad asociativa explica qué ocurre al cambiar la agrupación de varios sumandos.

Propiedad asociativa

En una suma de tres o más números, los paréntesis pueden colocarse de distintas formas sin cambiar el resultado. Por ejemplo:

(4 + 10) + 8 = 4 + (10 + 8)

14 + 8 = 4 + 18

22 = 22

Errores frecuentes

• Confundir asociar con cambiar el orden: asociar consiste en modificar la agrupación, no necesariamente la posición de los sumandos.
• Olvidar los paréntesis: si se quiere mostrar qué suma se hace primero, deben escribirse claramente.
• Aplicar la propiedad a una resta: la resta no tiene la misma propiedad asociativa que la suma. Por ejemplo, (12 − 5) − 2 no da el mismo resultado que 12 − (5 − 2).
• Creer que cambia el resultado intermedio: las sumas parciales pueden ser diferentes, pero el resultado final debe coincidir.

Ejercicios sobre la propiedad asociativa de la suma

Resuelve las siguientes actividades. En las operaciones numéricas, escribe al menos dos agrupaciones y comprueba que llegan al mismo resultado.

Ejercicio 1. Completa las operaciones

• 17 + 6 + 4 =
• 28 + 7 + 5 =
• 9 + 13 + 11 =
• 32 + 8 + 15 =
• 19 + 0 + 6 =
• 7 + 16 + 23 =

Soluciones desarrolladas

• 17 + 6 + 4: (17 + 6) + 4 = 23 + 4 = 27; 17 + (6 + 4) = 17 + 10 = 27.
• 28 + 7 + 5: (28 + 7) + 5 = 35 + 5 = 40; 28 + (7 + 5) = 28 + 12 = 40.
• 9 + 13 + 11: (9 + 13) + 11 = 22 + 11 = 33; 9 + (13 + 11) = 9 + 24 = 33.
• 32 + 8 + 15: (32 + 8) + 15 = 40 + 15 = 55; 32 + (8 + 15) = 32 + 23 = 55.
• 19 + 0 + 6: (19 + 0) + 6 = 19 + 6 = 25; 19 + (0 + 6) = 19 + 6 = 25.
• 7 + 16 + 23: (7 + 16) + 23 = 23 + 23 = 46; 7 + (16 + 23) = 7 + 39 = 46.

Ejercicio 2. Indica si es verdadero o falso

1. En una suma, cambiar los paréntesis puede dejar el mismo resultado.
2. La propiedad asociativa permite sustituir un signo más por un signo menos.
3. En (6 + 9) + 5 y 6 + (9 + 5), la agrupación es distinta.
4. El cero es el elemento neutro de la suma.
5. La propiedad conmutativa y la asociativa describen exactamente el mismo cambio.

Respuestas razonadas

1. Verdadero. La propiedad asociativa permite modificar la agrupación sin cambiar el total.
2. Falso. La propiedad asociativa se aplica a la suma y mantiene los signos de la operación.
3. Verdadero. En la primera expresión se calcula primero 6 + 9; en la segunda, 9 + 5.
4. Verdadero. Sumar cero conserva la cantidad inicial.
5. Falso. La conmutativa cambia el orden de los sumandos, mientras que la asociativa cambia su agrupación.