Teorema del seno: fórmula, aplicación y ejercicios resueltos

El teorema del seno permite relacionar los lados de un triángulo con los senos de los ángulos opuestos. Gracias a esta relación podemos calcular la longitud de un lado desconocido o la amplitud de un ángulo cuando conocemos otros datos del triángulo. Es especialmente útil en triángulos que no son rectángulos y en problemas en los que no basta con aplicar el teorema de Pitágoras.

Resumen

El teorema del seno relaciona cada lado de un triángulo con el seno de su ángulo opuesto: a/sen A = b/sen B = c/sen C. Permite calcular lados o ángulos, especialmente en triángulos no rectángulos, cuando se conocen al menos tres datos, incluido un lado y su ángulo opuesto. Se eligen dos razones, se sustituyen los valores y se despeja. Los ángulos se obtienen mediante el arcoseno. Hay que comprobar las parejas opuestas, usar grados y verificar que los ángulos sumen 180°; puede existir un caso ambiguo.

¿Qué dice el teorema del seno?

En cualquier triángulo, la longitud de cada lado es proporcional al seno del ángulo que se encuentra frente a él. Para expresar esta relación se utiliza una notación sencilla:

• El ángulo A tiene enfrente el lado a.
• El ángulo B tiene enfrente el lado b.
• El ángulo C tiene enfrente el lado c.

Por tanto, el lado y el ángulo que deben asociarse siempre son los que están opuestos entre sí. No se debe relacionar un lado con el ángulo que está junto a él.

El teorema establece que:

a / sen A = b / sen B = c / sen C

Esta igualdad indica que las tres razones tienen el mismo valor. En la práctica, normalmente se escogen dos de ellas, según los datos conocidos y la incógnita que haya que calcular.

¿Qué datos hacen falta?

Para utilizar el teorema del seno se necesitan, como mínimo, tres datos del triángulo, entre ellos al menos un lado y el ángulo opuesto a ese lado. Por ejemplo, puede conocerse lo siguiente:

• Dos ángulos y un lado opuesto a uno de ellos.
• Dos lados y un ángulo opuesto a uno de los lados conocidos.

Cuando conocemos dos ángulos, el tercero puede obtenerse recordando que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°. Si se conocen dos lados y un ángulo que no está entre ellos, en algunos casos pueden aparecer dos triángulos posibles. Este caso se conoce como caso ambiguo y conviene comprobar siempre que los ángulos obtenidos sumen 180° con el resto de los datos.

Fórmula del teorema del seno

Consideremos un triángulo cuyos lados son a, b y c, y cuyos ángulos opuestos son, respectivamente, A, B y C. La fórmula completa es:

a / sen A = b / sen B = c / sen C

Para hallar una longitud, se igualan dos razones y se despeja el lado desconocido. Por ejemplo, si se conocen a, A y B, para calcular b puede escribirse:

a / sen A = b / sen B

Al multiplicar en cruz:

b = (a · sen B) / sen A

Si la incógnita es un ángulo, primero se calcula su seno y después se aplica la función inversa del seno, llamada arcoseno o sen-1 en algunas calculadoras. Es importante comprobar que la calculadora está configurada en grados cuando los datos del problema están expresados en grados.

¿Cómo se aplica el teorema del seno?

Veamos un ejemplo nuevo. En un triángulo se conocen A = 52°, C = 67° y el lado a = 14 cm. Queremos calcular la longitud del lado c.

El lado c está frente al ángulo C, mientras que el lado a está frente al ángulo A. Por ello, relacionamos esas dos parejas:

a / sen A = c / sen C

Sustituimos los valores:

14 / sen 52° = c / sen 67°

Multiplicamos en cruz:

14 · sen 67° = c · sen 52°

Despejamos c:

c = (14 · sen 67°) / sen 52°

Al realizar la operación con la calculadora:

c ≈ 16,35 cm

Por tanto, el lado opuesto al ángulo de 67° mide aproximadamente 16,35 cm. El resultado se redondea a dos cifras decimales.

Ejemplo para calcular un ángulo

Ahora supongamos que conocemos a = 12 cm, b = 9 cm y A = 48°. La incógnita es el ángulo B.

Planteamos la igualdad con los lados a y b:

a / sen A = b / sen B

Reemplazamos los datos:

12 / sen 48° = 9 / sen B

Después de multiplicar en cruz:

12 · sen B = 9 · sen 48°

Despejamos el seno de B:

sen B = (9 · sen 48°) / 12

Aplicamos el arcoseno:

B = arcsen((9 · sen 48°) / 12)

El resultado aproximado es:

B ≈ 33,9°

Para verificar que es la solución válida, calculamos el tercer ángulo: C = 180° - 48° - 33,9° ≈ 98,1°. Como los tres ángulos son positivos y su suma es 180°, el resultado es compatible con un triángulo.

Problemas resueltos

Problema 1: calcular un lado

En un triángulo se conocen los ángulos B = 42° y C = 73°. Además, el lado opuesto a B mide b = 16 cm. ¿Cuánto mide el lado c?

Elegimos las razones que contienen b y c:

b / sen B = c / sen C

Sustituimos:

16 / sen 42° = c / sen 73°

Despejamos c mediante un producto cruzado:

c = (16 · sen 73°) / sen 42°

Calculamos:

c ≈ 22,87 cm

La longitud del lado c es aproximadamente 22,87 cm. Como comprobación adicional, el tercer ángulo sería A = 180° - 42° - 73° = 65°.

Problema 2: calcular un ángulo

Un triángulo tiene un lado a = 18 cm, otro lado c = 21 cm y el ángulo opuesto a c es C = 58°. Determina la medida del ángulo A.

Relacionamos el lado a con su ángulo A y el lado c con su ángulo C:

a / sen A = c / sen C

Sustituimos los datos conocidos:

18 / sen A = 21 / sen 58°

Tras multiplicar en cruz:

18 · sen 58° = 21 · sen A

Despejamos:

sen A = (18 · sen 58°) / 21

Aplicamos el arcoseno:

A = arcsen((18 · sen 58°) / 21)

Con una aproximación a una décima:

A ≈ 46,6°

También existe, en principio, el ángulo suplementario 180° - 46,6° = 133,4°. Sin embargo, si se sumara a C, se obtendrían más de 180°, por lo que no puede pertenecer a este triángulo. La solución válida es, por tanto, A ≈ 46,6°.

Pasos para resolver ejercicios

1. Identifica cada lado y el ángulo que tiene enfrente.
2. Escoge dos razones del teorema que incluyan los datos conocidos y la incógnita.
3. Escribe la proporción sin mezclar lados con ángulos adyacentes.
4. Sustituye los valores y multiplica en cruz.
5. Despeja la longitud o el seno del ángulo desconocido.
6. Si buscas un ángulo, utiliza el arcoseno.
7. Comprueba las unidades, el redondeo y que los ángulos del triángulo sumen 180°.

Los errores más habituales consisten en emparejar un lado con el ángulo incorrecto, olvidar los paréntesis al introducir una expresión en la calculadora o trabajar en radianes cuando el ejercicio utiliza grados. Una vez escrita correctamente la pareja lado-ángulo opuesto, el procedimiento se reduce a resolver una proporción.