Cómo sacar el área de un pentágono regular paso a paso

Para calcular el área de un pentágono regular necesitamos conocer la medida de uno de sus lados y, en algunos casos, la de su apotema. El procedimiento consiste en hallar primero el perímetro y después aplicar una fórmula sencilla. Recuerda que el resultado del área siempre se expresa en unidades cuadradas, como cm², m² o km².

Resumen

Un pentágono regular tiene cinco lados y ángulos iguales. Su área se calcula mediante la fórmula A = (P × a) / 2, donde P es el perímetro y a, la apotema. El perímetro se obtiene multiplicando la longitud de un lado por cinco: P = 5 × lado. Si no se conoce la apotema, puede calcularse mediante el teorema de Pitágoras: apotema = √[lado² − (lado ÷ 2)²]. El resultado debe expresarse en unidades cuadradas. La apotema es la distancia perpendicular desde el centro hasta un lado, y no debe confundirse con él.

Qué es un pentágono

Un pentágono es un polígono que tiene cinco lados, cinco vértices y cinco ángulos interiores. Puede presentar lados y ángulos de medidas diferentes, pero hablamos de pentágono regular cuando sus cinco lados son iguales y sus cinco ángulos interiores también.

En un pentágono regular, cada ángulo interior mide 108º y la suma de los cinco ángulos es de 540º. Desde el centro de la figura se puede trazar una perpendicular hasta uno de los lados. Ese segmento se llama apotema y resulta fundamental para calcular el área.

Fórmula del área de un pentágono

El área de cualquier polígono regular se obtiene multiplicando su perímetro por la apotema y dividiendo el resultado entre dos:

A = (P × a) / 2

En esta expresión, A representa el área, P es el perímetro y a es la apotema. El perímetro de un pentágono regular se calcula multiplicando la longitud de un lado por cinco:

P = 5 × lado

Por tanto, para resolver un ejercicio hay que seguir estos pasos:

1. Comprobar que se trata de un pentágono regular.
2. Calcular el perímetro multiplicando el lado por 5.
3. Obtener la apotema si no aparece en el enunciado.
4. Sustituir los datos en la fórmula del área.
5. Escribir el resultado en unidades cuadradas.

Cómo calcular la apotema

Si conocemos el lado del pentágono, podemos dividir la figura en cinco triángulos iguales. Al trazar una perpendicular desde el centro hasta un lado, uno de esos triángulos queda dividido en dos triángulos rectángulos. En cada uno de ellos, la hipotenusa es el lado del pentágono y uno de los catetos mide la mitad del lado.

Así, se puede utilizar el teorema de Pitágoras:

lado² = apotema² + (lado ÷ 2)²

Despejando la apotema, queda:

apotema = √[lado² − (lado ÷ 2)²]

También puede emplearse directamente esta relación para un pentágono regular: apotema = lado ÷ (2 × tan 36º). Si no se dispone de una calculadora con funciones trigonométricas, el procedimiento de Pitágoras permite trabajar de forma geométrica.

Ejemplo resuelto

Calculamos el área de un pentágono regular cuyo lado mide 12 cm.

Primero hallamos el perímetro:

P = 5 × 12 = 60 cm

Ahora calculamos la apotema mediante Pitágoras:

a = √(12² − 6²) = √108 ≈ 10,39 cm

Aplicamos la fórmula:

A = (60 × 10,39) ÷ 2 ≈ 311,7 cm²

El valor es aproximado porque la apotema se ha redondeado a dos cifras decimales. Si se conserva la expresión exacta, el área es 30√108 cm², que equivale aproximadamente a 311,77 cm².

Ejercicios para practicar

Resuelve estas actividades antes de consultar las soluciones:

1. Calcula el área de un pentágono regular cuyo perímetro es 84 m y cuya apotema mide 11 m.
2. Halla el área de un pentágono regular de lado 10 cm. Calcula primero la apotema y redondea el resultado final a dos decimales.

Soluciones

1. Como conocemos directamente el perímetro y la apotema, aplicamos la fórmula: A = (84 × 11) ÷ 2 = 462 m².
2. El perímetro es P = 5 × 10 = 50 cm. La apotema se obtiene así: a = √(10² − 5²) = √75 ≈ 8,66 cm. Después: A = (50 × 8,66) ÷ 2 ≈ 216,50 cm².

Es importante no confundir el lado con la apotema: el lado forma parte del contorno del pentágono, mientras que la apotema va desde el centro hasta el punto medio de uno de sus lados.