Área de un polígono regular: fórmula, elementos y ejercicios resueltos

El área de un polígono regular puede calcularse de forma sencilla si conocemos la longitud de sus lados y su apotema. Para aplicar correctamente la fórmula, primero hay que reconocer qué características tiene este tipo de polígono y qué representa cada uno de sus elementos.

Resumen

Un polígono regular tiene todos sus lados y ángulos iguales. Su área se calcula con A = (P · a) / 2, donde P es el perímetro y a, la apotema; el perímetro se obtiene mediante P = n · l. La apotema une perpendicularmente el centro con el punto medio de un lado. Si no se conoce, puede emplearse una fórmula con la tangente. La figura se divide en triángulos iguales y el resultado se expresa en unidades cuadradas.

Qué es un polígono regular

Un polígono regular es una figura plana, cerrada y formada por segmentos de recta en la que todos los lados tienen la misma longitud y todos los ángulos interiores son iguales. Por eso se dice que es equilátero y equiangular.

Los vértices de un polígono regular pueden situarse sobre una misma circunferencia, llamada circunferencia circunscrita. Además, existe una circunferencia interior que toca cada uno de sus lados en un punto; se denomina circunferencia inscrita. El centro de ambas circunferencias coincide con el centro del polígono.

Cómo calcular el área de un polígono regular

La fórmula principal es:

A = (P · a) / 2

En ella, A representa el área, P es el perímetro y a es la apotema. El resultado se expresa en unidades cuadradas, como cm², m² o km².

Cómo obtener el perímetro

El perímetro se calcula multiplicando el número de lados por la longitud de uno de ellos:

P = n · l

La letra n indica cuántos lados tiene el polígono y l representa la medida de cada lado.

Por qué funciona la fórmula

Si unimos el centro del polígono con todos sus vértices, la figura queda dividida en varios triángulos iguales. Cada triángulo tiene como base un lado del polígono y como altura la apotema. Como el área de un triángulo es base por altura dividido entre dos, al sumar todos los triángulos obtenemos:

Área = (suma de todas las bases · apotema) / 2

La suma de todas las bases coincide con el perímetro, de modo que se llega a la fórmula A = (P · a) / 2.

Ejemplo explicado

Calculamos el área de un octógono regular cuyos lados miden 9 cm y cuya apotema mide aproximadamente 10,86 cm.

Primero hallamos el perímetro:

P = n · l = 8 · 9 = 72 cm

Después sustituimos los datos en la fórmula del área:

A = (72 · 10,86) / 2 = 390,96 cm²

Por tanto, el perímetro es de 72 cm y el área aproximada es de 390,96 cm².

Cómo calcular el área si no conocemos la apotema

Cuando solo conocemos el número de lados y la medida de cada lado, podemos obtener el área mediante esta expresión:

A = (n · l²) / (4 · tan(180° / n))

La función tan es la tangente y la calculadora debe estar configurada en grados. Esta fórmula se obtiene a partir de la relación entre el lado, la apotema y los ángulos de los triángulos que forman el polígono.

Por ejemplo, para un cuadrado de lado 6 cm, esta fórmula da:

A = (4 · 6²) / (4 · tan(180° / 4)) = 36 cm²

En este caso también se puede utilizar la fórmula habitual del cuadrado, lado por lado. Las dos expresiones conducen al mismo resultado.

Elementos de un polígono regular

• Lados: son los segmentos que delimitan la figura. En un polígono regular, todos miden lo mismo.
• Vértices: son los puntos donde se unen dos lados. El número de vértices coincide con el número de lados.
• Ángulos interiores: son los ángulos que se forman dentro del polígono entre dos lados consecutivos.
• Centro: es el punto que está a la misma distancia de todos los vértices y de todos los lados.
• Apotema: es el segmento perpendicular que va desde el centro hasta el punto medio de uno de los lados. En un polígono regular, todas las apotemas tienen la misma longitud.
• Diagonales: son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos. Los lados no se consideran diagonales.
• Radio: es el segmento que une el centro con cualquiera de los vértices.

Tipos de polígonos regulares

Los polígonos regulares se nombran según su número de lados. Algunos de los más conocidos son:

• Triángulo equilátero: tiene tres lados iguales y cada ángulo interior mide 60°.
• Cuadrado: tiene cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos de 90°.
• Pentágono regular: posee cinco lados iguales; cada ángulo interior mide 108°.
• Hexágono regular: tiene seis lados iguales y sus ángulos interiores miden 120°.
• Heptágono regular: está formado por siete lados; cada ángulo interior mide aproximadamente 128,57°.
• Octógono regular: tiene ocho lados iguales y ángulos interiores de 135°.
• Decágono regular: posee diez lados iguales y cada ángulo interior mide 144°.

En cualquier polígono regular, la suma de los ángulos interiores se calcula con (n − 2) · 180°. Como todos son iguales, basta dividir esa suma entre el número de lados para conocer la medida de uno de ellos.

Ejercicios resueltos sobre el área

Ejercicio 1

Calcula el perímetro y el área de un pentágono regular de lado 13 cm y apotema 8,9 cm.

Solución

Perímetro:

P = 5 · 13 = 65 cm

Área:

A = (65 · 8,9) / 2 = 289,25 cm²

El pentágono tiene un perímetro de 65 cm y un área de 289,25 cm².

Ejercicio 2

Calcula el área de un heptágono regular cuyo lado mide 11 cm y cuya apotema es aproximadamente 11,42 cm.

Solución

Primero obtenemos el perímetro:

P = 7 · 11 = 77 cm

Ahora calculamos el área:

A = (77 · 11,42) / 2 = 439,67 cm²

El área aproximada es de 439,67 cm².

Ejercicio 3

Un decágono regular tiene lados de 6 cm y una apotema de 9,23 cm. ¿Cuál es su perímetro y su área?

Solución

P = 10 · 6 = 60 cm

A = (60 · 9,23) / 2 = 276,9 cm²

El perímetro mide 60 cm y el área aproximada es de 276,9 cm².

Ejercicio 4

Calcula el perímetro y el área de un hexágono regular de lado 7,5 m. Su apotema mide aproximadamente 6,5 m.

Solución

P = 6 · 7,5 = 45 m

A = (45 · 6,5) / 2 = 146,25 m²

El perímetro es de 45 m y el área aproximada es de 146,25 m².

Errores frecuentes

• No hay que confundir la apotema con el lado: la apotema va desde el centro hasta el punto medio de un lado y forma un ángulo recto con él.
• El perímetro se expresa en unidades de longitud, mientras que el área se expresa en unidades cuadradas.
• En la fórmula del área hay que dividir entre 2. Olvidar este paso duplica el resultado.
• Si se usa la fórmula con la tangente, conviene comprobar que la calculadora trabaja en grados y no en radianes.