Cómo calcular una matriz inversa paso a paso

Calcular la matriz inversa permite deshacer el efecto de una multiplicación matricial. Para encontrarla hay que comprobar primero si la matriz puede invertirse y, después, aplicar un procedimiento concreto. En este artículo veremos qué significa que una matriz tenga inversa, cómo calcularla en una matriz de orden 2, cuáles son sus propiedades y cómo comprobar el resultado.

Resumen

Una matriz inversa permite deshacer una multiplicación matricial y cumple A·A−1 = A−1·A = I, donde I es la matriz identidad. Solo existe para matrices cuadradas con determinante distinto de cero; si el determinante es cero, la matriz es singular. En general, A−1 = 1/det(A) · adj(A). Para una matriz 2 × 2, se calcula intercambiando los elementos de la diagonal, cambiando el signo de los restantes y dividiendo entre el determinante. El resultado se verifica multiplicando ambas matrices.

¿Qué es una matriz inversa?

Una matriz es una disposición rectangular de números organizada en filas y columnas. Cada elemento puede identificarse mediante dos subíndices: el primero indica la fila y el segundo, la columna. Por ejemplo, aij representa el elemento situado en la fila i y la columna j.

La matriz inversa de una matriz cuadrada A se escribe como A-1. Se caracteriza por cumplir:

A · A-1 = A-1 · A = I

La letra I representa la matriz identidad, que tiene unos en la diagonal principal y ceros en el resto de posiciones. Por tanto, la inversa desempeña un papel parecido al del recíproco de un número: al combinarla con la matriz original, se obtiene el elemento neutro de la multiplicación matricial.

No todas las matrices tienen inversa. Solo pueden tenerla las matrices cuadradas cuyo determinante sea distinto de cero. Si el determinante vale cero, la matriz es singular y no se puede invertir.

Fórmula para calcular una matriz inversa

Para una matriz cuadrada A, la fórmula general es:

A-1 = 1/det(A) · adj(A)

En esta expresión, det(A) es el determinante y adj(A) es la matriz adjunta. En matrices de mayor tamaño, la adjunta se obtiene a partir de los cofactores y de su transpuesta. Sin embargo, para una matriz de 2 × 2 existe una regla directa mucho más sencilla.

Regla para una matriz de 2 × 2

Si:

A = ( a  b
c  d )

entonces su determinante es:

det(A) = ad − bc

Siempre que este resultado no sea cero, la inversa se calcula así:

A-1 = 1/(ad − bc) · ( d  −b
−c  a )

El procedimiento consiste en intercambiar los elementos de la diagonal principal, cambiar de signo los otros dos y dividir toda la matriz resultante entre el determinante.

Ejemplo resuelto

Consideremos la matriz:

B = ( 4  7
1  2 )

1. Calculamos el determinante.

det(B) = 4 · 2 − 7 · 1 = 8 − 7 = 1

Como el determinante es distinto de cero, B sí tiene inversa.

2. Formamos la matriz adjunta correspondiente.

Intercambiamos 4 y 2, y cambiamos el signo de 7 y de 1:

( 2  −7
−1  4 )

3. Dividimos entre el determinante.

Como el determinante vale 1, la división no modifica los elementos:

B−1 = ( 2  −7
−1  4 )

Para comprobar el resultado, se puede multiplicar B por esta matriz. El producto debe ser la identidad de orden 2:

( 1  0
0  1 )

Propiedades de la matriz inversa

Estas son algunas propiedades importantes:

• La inversa de A se representa mediante A−1; el exponente −1 no significa que haya que cambiar cada elemento por su inverso.
• Solo las matrices cuadradas con determinante distinto de cero pueden tener matriz inversa.
• La inversa de una matriz inversa devuelve la matriz original: (A−1)−1 = A.
• La inversa de un producto invierte también el orden de los factores: (A · B)−1 = B−1 · A−1, siempre que ambas inversas existan.
• La identidad es su propia inversa: I−1 = I.

Ejercicio para practicar

Calcula la matriz inversa de:

C = ( 3  −4
2  5 )

Recuerda seguir este orden: calcula primero el determinante, comprueba que no sea cero, construye la matriz adjunta y divide todos sus elementos entre el determinante.

Solución

El determinante es:

det(C) = 3 · 5 − (−4 · 2) = 15 + 8 = 23

Como 23 no es cero, la inversa existe. Intercambiamos los elementos de la diagonal principal y cambiamos el signo de los otros:

( 5  4
−2  3 )

Por tanto:

C−1 = 1/23 · ( 5  4
−2  3 )

También puede escribirse elemento a elemento:

C−1 = ( 5/23  4/23
−2/23  3/23 )

La comprobación final consiste en multiplicar esta matriz por C y verificar que el resultado es la matriz identidad. Si aparece la identidad, el cálculo es correcto.