Qué es una matriz y ejemplos explicados paso a paso

Una matriz es una organización rectangular de números o expresiones matemáticas colocados en filas y columnas. Se representa normalmente entre paréntesis o corchetes y permite ordenar información y realizar operaciones de forma sistemática. El tamaño de una matriz se indica mediante el número de filas y el número de columnas, en ese orden. Por ejemplo, una matriz de 2 × 4 tiene 2 filas y 4 columnas.

Los elementos de una matriz se identifican por su posición. Si llamamos aij a uno de ellos, el índice i señala la fila y el índice j indica la columna. Así, a23 es el elemento situado en la segunda fila y la tercera columna. Esta forma de localizar cada dato resulta fundamental para trabajar con matrices y para resolver problemas de álgebra.

Resumen

Una matriz es una organización rectangular de números o expresiones distribuidos en filas y columnas. Su dimensión indica primero las filas y después las columnas, mientras que los índices localizan cada elemento. Puede ser fila, columna, rectangular, cuadrada, nula, triangular, diagonal, escalar o identidad, según su forma y elementos. La matriz identidad tiene unos en la diagonal y ceros fuera; la escalar presenta valores iguales en ella. Las matrices organizan datos y resuelven sistemas, modelos y transformaciones.

¿Qué es una matriz?

Podemos imaginar una matriz como una cuadrícula ordenada. Por ejemplo:

A = [ 4   -1   7
        0    3   5
        8    2   -6 ]

Esta matriz tiene 3 filas y 3 columnas, por lo que es una matriz de orden 3 × 3. El elemento de la primera fila y la segunda columna es -1; por tanto, podemos escribir a12 = -1. El elemento de la tercera fila y la primera columna es 8, de modo que a31 = 8.

La expresión general de una matriz con m filas y n columnas puede escribirse como A = (aij), donde los índices recorren todas las posiciones posibles: i va desde 1 hasta m y j desde 1 hasta n. Los elementos pueden ser positivos, negativos o nulos. También pueden ser números, variables o expresiones, según el problema.

Filas, columnas y dimensión

Una fila es una línea horizontal de elementos y una columna es una línea vertical. Para indicar las dimensiones, se cuenta primero el número de filas y después el de columnas.

• Una matriz con 4 filas y 2 columnas tiene dimensión 4 × 2.
• Una matriz con 1 fila y 5 columnas tiene dimensión 1 × 5.
• Una matriz con 3 filas y 1 columna tiene dimensión 3 × 1.

Es importante no invertir estos números: una matriz de 4 × 2 no tiene la misma forma que una de 2 × 4, aunque ambas contengan ocho elementos.

Tipos de matrices

Las matrices pueden clasificarse atendiendo a su forma o a la relación entre sus elementos.

• Matriz fila: tiene una única fila. Por ejemplo, [ 6   0   -3   9 ] es de dimensión 1 × 4.
• Matriz columna: está formada por una sola columna. Su dimensión puede ser 4 × 1, 5 × 1, etc.
• Matriz rectangular: tiene distinto número de filas y columnas. Una matriz de 2 × 5 es rectangular.
• Matriz cuadrada: posee el mismo número de filas que de columnas. En ellas se puede hablar de diagonal principal.
• Matriz nula: todos sus elementos son iguales a cero, independientemente de sus dimensiones.
• Matriz triangular superior: es cuadrada y todos los elementos situados por debajo de la diagonal principal son cero.
• Matriz triangular inferior: es cuadrada y todos los elementos situados por encima de la diagonal principal son cero.
• Matriz diagonal: es cuadrada y fuera de la diagonal principal todos los elementos son cero.
• Matriz escalar: es una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal principal tienen todos el mismo valor.
• Matriz identidad: es una matriz diagonal con un 1 en cada posición de la diagonal principal y ceros en las demás.

Estas categorías pueden coincidir. Por ejemplo, toda matriz identidad es cuadrada, diagonal, escalar y, al mismo tiempo, triangular superior e inferior. Sin embargo, no toda matriz diagonal es identidad: para ser identidad, sus elementos diagonales deben ser exactamente iguales a 1.

¿Cómo se construye una matriz?

Para formar una matriz hay que decidir primero cuántas filas y columnas tendrá. Después se colocan los elementos en sus posiciones correspondientes, manteniendo el mismo número de elementos en cada fila.

Por ejemplo, la matriz siguiente tiene 2 filas y 3 columnas:

B = [ -2   4   1
        5   0   -7 ]

Su dimensión es 2 × 3 y contiene seis elementos. Podemos identificar algunos de ellos así: b11 = -2, b13 = 1 y b22 = 0. Observa que el primer índice siempre indica el renglón o fila y el segundo, la columna.

La diagonal principal solo se define directamente en una matriz cuadrada. Está formada por los elementos que ocupan posiciones como a11, a22, a33 y así sucesivamente. En una matriz rectangular puede existir una línea diagonal de posiciones, pero muchas clasificaciones relacionadas con ella se reservan para matrices cuadradas.

¿Qué es una matriz escalar?

Una matriz escalar es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que están fuera de la diagonal principal son cero y los elementos de esa diagonal son iguales entre sí. Un ejemplo es:

C = [ 5   0   0
        0   5   0
        0   0   5 ]

En este caso, la diagonal está formada por tres cincos y el resto de las posiciones contiene ceros. Por ello, C es diagonal y escalar. También es triangular superior e inferior, porque cumple simultáneamente las condiciones de ambas.

La matriz identidad de orden 3 sería la misma estructura, pero con unos en la diagonal:

I = [ 1   0   0
        0   1   0
        0   0   1 ]

La identidad es un caso particular de matriz escalar, ya que todos sus elementos diagonales son iguales. En general, una matriz escalar puede expresarse como el producto de un número por una matriz identidad del mismo orden. Por ejemplo, 5I = C.

¿Para qué sirven las matrices?

Las matrices permiten representar muchos datos sin tener que escribir cada relación por separado. Por eso aparecen en distintos campos de las matemáticas, la ciencia y la tecnología.

• Sistemas de ecuaciones: los coeficientes de varias ecuaciones pueden reunirse en una matriz para facilitar su estudio y resolución.
• Estadística: sirven para organizar datos y representar cálculos de modelos con varias variables.
• Informática y gráficos por ordenador: se emplean para describir giros, desplazamientos y cambios de tamaño de figuras u objetos.
• Robótica: ayudan a calcular la posición y el movimiento de piezas articuladas, como los brazos mecánicos.
• Organización de información: una tabla de datos puede expresarse como una matriz cuando interesa trabajar con sus filas y columnas mediante operaciones matemáticas.

Su utilidad no se limita a guardar números. La estructura de la matriz permite aplicar reglas de suma, multiplicación y transformación, siempre que sus dimensiones sean adecuadas para la operación.

Ejercicios sobre matrices

Resuelve estas actividades antes de consultar las soluciones. En la primera, justifica cada respuesta.

1. Indica si las afirmaciones son verdaderas o falsas:

• Una matriz de dimensión 3 × 1 es una matriz columna.
• Una matriz rectangular tiene necesariamente más columnas que filas.
• Todos los elementos de una matriz identidad, salvo los de la diagonal principal, son ceros.
• Una matriz escalar puede tener valores diferentes en su diagonal principal.

2. Observa la matriz D y responde:

D = [ 0   0   0
        0   -4   0
        0   0   -4 ]

• ¿Cuál es su dimensión?
• ¿Qué valor tiene d23?
• ¿Es una matriz diagonal? ¿Y escalar?
• ¿Es la matriz identidad?

Soluciones

1.

• Es verdadera: solo hay una columna, por lo que se trata de una matriz columna.
• Es falsa: una matriz rectangular tiene distinto número de filas y columnas, pero puede tener más filas que columnas o más columnas que filas.
• Es verdadera: esa es precisamente una de las características de la matriz identidad.
• Es falsa: en una matriz escalar, todos los valores de la diagonal principal deben ser iguales.

2. La matriz D tiene dimensión 3 × 3 porque cuenta con tres filas y tres columnas. El elemento d23 es 0, ya que se encuentra en la segunda fila y la tercera columna. Es diagonal porque fuera de su diagonal principal todos los elementos son cero. También es escalar: los tres elementos diagonales son iguales a -4. No es la matriz identidad, puesto que la diagonal no está formada por unos.