Propiedades de la suma de matrices: explicación y ejemplos

Las matrices son conjuntos de números organizados en filas y columnas. Igual que ocurre con los números, las matrices pueden sumarse, pero esta operación tiene una condición fundamental: las matrices deben tener el mismo número de filas y de columnas. A partir de esta regla se entienden las principales propiedades de la suma de matrices: cerradura, conmutativa, asociativa, elemento neutro e inverso aditivo.

En este artículo repasaremos primero qué es una matriz y cómo se realiza una suma. Después estudiaremos cada propiedad con ejemplos distintos, para comprobar qué significa y cómo se aplica.

Resumen

Las matrices son disposiciones rectangulares de números en filas y columnas, identificadas por su orden (filas × columnas). La suma se realiza elemento a elemento y solo está definida entre matrices con las mismas dimensiones. Sus propiedades fundamentales son: cerradura, porque el resultado conserva el orden; conmutativa, asociativa, elemento neutro (la matriz cero) e inverso aditivo (la matriz opuesta). La opuesta cambia todos los signos y permite expresar la resta como suma de dicha matriz.

Cómo se suman dos matrices

Para sumar dos matrices se suman los elementos que ocupan la misma posición. El número situado en la primera fila y primera columna de una matriz se combina con el número que ocupa esa misma posición en la otra matriz. El procedimiento se repite con todos los elementos.

Por ejemplo, consideremos las matrices:

A =
1   -3
4   2

B =
5   6
-1   7

Ambas tienen dos filas y dos columnas. Por tanto, se pueden sumar:

A + B =
1 + 5    -3 + 6
4 + (-1)    2 + 7

A + B =
6   3
3   9

La suma se hace siempre elemento a elemento; no se multiplican las filas ni se mezclan posiciones diferentes.

Propiedades de la suma de matrices

Propiedad de cerradura

La propiedad de cerradura indica que la suma de dos matrices del mismo tamaño produce otra matriz del mismo tamaño. Si A y B son matrices de orden m x n, entonces A + B también es una matriz de orden m x n.

Por ejemplo, una matriz de 2 x 3 solo puede sumarse directamente con otra matriz de 2 x 3. El resultado tendrá igualmente dos filas y tres columnas.

Si tenemos:

P =
2  0  -4
3  8  1

Q =
-5  7  2
6  -3  9

las dos matrices son de orden 2 x 3 y su suma está definida:

P + Q =
-3  7  -2
9  5  10

En cambio, no se puede sumar una matriz de 2 x 3 con otra de 3 x 2, porque sus elementos no pueden emparejarse posición por posición. Tampoco está definida la suma entre una matriz de 2 x 2 y otra de 2 x 1.

Propiedad conmutativa

La suma de matrices es conmutativa cuando el orden de los sumandos no cambia el resultado. Si A y B tienen las mismas dimensiones, se cumple:

A + B = B + A

Esta propiedad se debe a que la suma de números es conmutativa en cada posición. Por ejemplo:

R =
3   1
-2   5

S =
4   -6
7   0

Al sumar R + S obtenemos:

R + S =
3 + 4    1 + (-6)
-2 + 7    5 + 0

R + S =
7   -5
5   5

Si cambiamos el orden:

S + R =
4 + 3    -6 + 1
7 + (-2)    0 + 5

S + R =
7   -5
5   5

Los resultados coinciden. Eso sí, la conmutatividad solo puede aplicarse cuando las dos matrices tienen el mismo orden.

Propiedad asociativa

La propiedad asociativa se refiere a la forma de agrupar tres matrices. Si A, B y C tienen las mismas dimensiones, es posible sumar primero A con B o primero B con C:

(A + B) + C = A + (B + C)

Los paréntesis indican qué suma se realiza en primer lugar, pero no alteran el resultado final.

Veamos el caso siguiente:

A =
2  -1
0   3

B =
5   4
-2   1

C =
-3   2
6   -5

Primero calculamos A + B:

A + B =
7   3
-2   4

Después añadimos C:

(A + B) + C =
7 + (-3)    3 + 2
-2 + 6    4 + (-5)

(A + B) + C =
4   5
4   -1

Ahora agrupamos de otra manera. Primero sumamos B + C:

B + C =
2   6
4   -4

Al sumar A:

A + (B + C) =
2 + 2    -1 + 6
0 + 4    3 + (-4)

A + (B + C) =
4   5
4   -1

Como se observa, ambas agrupaciones conducen a la misma matriz.

Elemento neutro: la matriz cero

El elemento neutro de la suma es una matriz que, al añadirse a otra, no modifica ninguno de sus elementos. En las matrices, este papel lo desempeña la matriz cero, que contiene únicamente ceros y debe tener las mismas dimensiones que la matriz con la que se suma.

Si Z representa la matriz cero, entonces:

A + Z = Z + A = A

Por ejemplo, sea:

M =
-4   8   1
9   0   -2

La matriz cero correspondiente es:

O =
0   0   0
0   0   0

Las dos matrices son de orden 2 x 3. Por ello:

M + O =
-4 + 0    8 + 0    1 + 0
9 + 0    0 + 0    -2 + 0

M + O =
-4   8   1
9   0   -2

La matriz no cambia porque sumar cero en cada posición no altera los valores.

Elemento inverso u opuesto

Para cada matriz existe una matriz opuesta. Se obtiene cambiando el signo de todos sus elementos: los positivos pasan a ser negativos, y los negativos se convierten en positivos. El opuesto de A se escribe -A.

Al sumar una matriz con su opuesta se obtiene la matriz cero del mismo orden:

A + (-A) = O

Consideremos la matriz:

N =
6   -2
-7   4

Su opuesta es:

-N =
-6   2
7   -4

Al efectuar la suma:

N + (-N) =
6 + (-6)    -2 + 2
-7 + 7    4 + (-4)

N + (-N) =
0   0
0   0

Esta propiedad está relacionada con la resta de matrices, ya que restar una matriz equivale a sumar su opuesta:

A - B = A + (-B)

Qué son las matrices

Una matriz es una disposición rectangular de elementos, normalmente números, colocados en filas y columnas. Cada elemento ocupa una posición concreta. Para localizarlo se indica primero la fila y después la columna.

Las matrices suelen nombrarse con letras mayúsculas, como A, B o C. Sus elementos pueden representarse con letras minúsculas acompañadas de dos subíndices: el primero señala la fila y el segundo, la columna.

El orden o dimensión de una matriz se expresa como m x n. La primera cifra indica el número de filas y la segunda, el número de columnas.

Por ejemplo, la matriz siguiente tiene tres filas y dos columnas, así que es de orden 3 x 2:

T =
4   9
-1   3
8   0

Las matrices pueden utilizarse para organizar información y, según el caso, también pueden sumarse, restarse, multiplicarse o transformarse mediante otras operaciones.

Tipos de matrices relacionados con la suma

Existen distintas clases de matrices. Algunas se clasifican por su forma y otras por las características de sus elementos:

• Matriz rectangular: tiene distinto número de filas y de columnas.
• Matriz fila: está formada por una sola fila.
• Matriz columna: contiene una sola columna.
• Matriz cero o nula: todos sus elementos son iguales a cero.
• Matriz cuadrada: posee el mismo número de filas y de columnas.
• Matriz diagonal: es cuadrada y todos los elementos que no pertenecen a la diagonal principal son cero.
• Matriz escalar: es una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal principal tienen todos el mismo valor.
• Matriz identidad: es una matriz escalar cuya diagonal principal está formada por unos. Los demás elementos son ceros.
• Matriz opuesta: conserva las posiciones de una matriz, pero cambia el signo de cada elemento.
• Matriz transpuesta: se obtiene intercambiando filas por columnas.

Resumen de las propiedades

Las propiedades fundamentales pueden reunirse de esta forma:

• Cerradura: la suma de dos matrices del mismo orden es otra matriz de ese orden.
• Conmutativa: cambiar el orden de los sumandos no cambia el resultado.
• Asociativa: al sumar tres matrices, la agrupación no modifica el resultado.
• Elemento neutro: sumar la matriz cero deja la matriz original.
• Elemento inverso: una matriz más su opuesta da como resultado la matriz cero.

Estas propiedades se parecen a las de la suma de números reales porque, en última instancia, cada elemento de una matriz se suma siguiendo las reglas habituales. La condición que no debe olvidarse es que solo se pueden sumar matrices con las mismas dimensiones.