Comparación de fracciones con distinto denominador: métodos y ejemplos

Comparar fracciones con distinto denominador permite determinar cuál representa una cantidad mayor, cuál es menor o si ambas tienen el mismo valor. Para hacerlo correctamente, no basta con observar solo los números que aparecen arriba o abajo de la raya: hay que tener en cuenta la relación entre numerador y denominador.

Una fracción se escribe con dos números. El numerador, situado arriba, indica cuántas partes se toman; el denominador, situado abajo, señala en cuántas partes iguales se ha dividido la unidad. Por ejemplo, en 3/8 se consideran tres de las ocho partes iguales en que se ha dividido el entero.

Resumen

Para comparar fracciones con distinto denominador hay que considerar conjuntamente el numerador y el denominador. Si tienen el mismo numerador, es mayor la que posee el denominador positivo más pequeño. Cuando ambos números son diferentes, pueden transformarse en fracciones equivalentes con un denominador común o compararse mediante la multiplicación cruzada. El mínimo común múltiplo facilita igualar denominadores. Si los productos cruzados coinciden, las fracciones son equivalentes. No es válido comparar solo numeradores, denominadores ni sumarlos.

¿Qué significa que dos fracciones tengan distinto denominador?

Dos fracciones tienen distinto denominador cuando los números que aparecen debajo de la raya fraccionaria no coinciden. Por ejemplo, 5/6 y 7/10 son fracciones de distinto denominador porque sus denominadores son 6 y 10.

También reciben el nombre de fracciones heterogéneas. En cambio, las fracciones que tienen el mismo denominador se llaman homogéneas. Esta diferencia es importante porque, cuando el denominador es común, la comparación resulta más directa: se observan los numeradores y se conserva el mismo denominador.

Antes de comparar, conviene comprobar que los denominadores sean positivos y que no sean cero. Una fracción con denominador cero no está definida.

Primer caso: mismo numerador y distinto denominador

Cuando dos fracciones tienen el mismo numerador y los denominadores son positivos, es mayor la que posee el denominador más pequeño. La razón es que la unidad se ha dividido en menos partes y, por tanto, cada parte es más grande.

Por ejemplo:

4/7 y 4/11

Las dos fracciones toman cuatro partes, pero en el primer caso cada unidad se divide en siete partes y en el segundo, en once. Las partes de séptimos son mayores que las de undécimos. Por eso:

4/7 > 4/11

Del mismo modo, si el numerador fuera 2, se cumpliría que 2/9 es mayor que 2/13. Este procedimiento solo puede aplicarse directamente cuando los numeradores son iguales y los denominadores son positivos.

Segundo caso: numeradores y denominadores diferentes

Si tanto el numerador como el denominador son distintos, la comparación visual puede llevar a errores. Por ejemplo, no se puede afirmar que una fracción es mayor solo porque su numerador sea más grande: también influye el denominador.

Hay dos procedimientos especialmente útiles:

• convertir las fracciones en otras equivalentes con el mismo denominador;
• utilizar la multiplicación cruzada.

Comparar mediante un denominador común

Para aplicar este método, se busca un denominador que sea múltiplo de los denominadores iniciales. Puede utilizarse el mínimo común múltiplo, aunque también sirve cualquier múltiplo común. Después se transforma cada fracción en otra equivalente.

Comparemos 7/12 y 5/8.

El mínimo común múltiplo de 12 y 8 es 24. Transformamos cada fracción para que tenga ese denominador:

7/12 = 14/24, porque se multiplican numerador y denominador por 2.

5/8 = 15/24, porque se multiplican numerador y denominador por 3.

Ahora las dos fracciones tienen el mismo denominador. Como 15 es mayor que 14, se obtiene:

5/8 > 7/12

La fracción no ha cambiado de valor; solo se ha expresado con otras partes equivalentes. Multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número distinto de cero mantiene la cantidad representada.

Comparar mediante multiplicación cruzada

La multiplicación cruzada permite decidir cuál de dos fracciones positivas es mayor sin calcular expresamente un denominador común. Si se comparan:

a/b y c/d

con b y d positivos, se multiplican el numerador de la primera por el denominador de la segunda, y el numerador de la segunda por el denominador de la primera:

a × d y c × b

• Si a × d es mayor que c × b, entonces a/b > c/d.
• Si a × d es menor que c × b, entonces a/b < c/d.
• Si ambos productos son iguales, las fracciones son equivalentes.

Veamos el procedimiento con 9/14 y 4/7.

Se calculan los productos cruzados:

9 × 7 = 63

4 × 14 = 56

Como 63 es mayor que 56, se concluye que:

9/14 > 4/7

Este método funciona porque, al llevar ambas fracciones a un denominador común formado por el producto de los denominadores, los numeradores resultantes son precisamente esos productos cruzados.

¿Cómo saber si dos fracciones son equivalentes?

Dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma cantidad, aunque estén escritas con números diferentes. Para comprobarlo mediante multiplicación cruzada, los dos productos deben coincidir.

Consideremos 6/15 y 2/5:

6 × 5 = 30

2 × 15 = 30

Como los resultados son iguales, las fracciones son equivalentes:

6/15 = 2/5

También se puede comprobar simplificando 6/15. Al dividir numerador y denominador entre 3 se obtiene 2/5. La fracción 2/5 es la forma irreducible en este caso, porque ya no existe un divisor común mayor que 1.

Comparación con el mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo, abreviado m.c.m., es el menor número positivo que es múltiplo de dos o más números. Encontrarlo puede hacer más sencilla la comparación, sobre todo cuando los denominadores tienen factores comunes.

Comparemos 11/18 y 7/12.

Los múltiplos de 18 comienzan así: 18, 36, 54, 72...

Los múltiplos de 12 comienzan así: 12, 24, 36, 48, 60, 72...

El m.c.m. es 36. Por tanto:

11/18 = 22/36

7/12 = 21/36

Como 22 es mayor que 21, resulta que:

11/18 > 7/12

Cuando un denominador es múltiplo del otro, no es necesario buscar una lista extensa. Por ejemplo, para comparar 3/5 y 4/20, el denominador común puede ser 20. La primera fracción se transforma en 12/20 y la segunda ya está expresada como 4/20. Así se ve que 3/5 es mayor que 4/20.

Comparar fracciones observando su valor

En algunos casos es posible utilizar referencias conocidas, como 0, 1/2 o 1. Esta estrategia sirve para hacer una estimación rápida, aunque, si se necesita una respuesta exacta, es preferible comprobarla con un denominador común o con la multiplicación cruzada.

Por ejemplo, 13/15 está muy cerca de 1, porque solo le faltan 2/15 para alcanzarlo. En cambio, 3/8 está por debajo de 1/2. Por ello se puede anticipar que 13/15 es mayor que 3/8.

También puede compararse una fracción con la unidad:

• Si el numerador es menor que el denominador, la fracción es propia y su valor es menor que 1.
• Si el numerador y el denominador son iguales, la fracción vale 1.
• Si el numerador es mayor que el denominador, la fracción es impropia y su valor es mayor que 1, siempre que ambos sean positivos.

Esta observación ayuda a descartar rápidamente algunas opciones, pero no sustituye al cálculo cuando las dos fracciones están en la misma zona de la recta numérica.

Representación en la recta numérica

Las fracciones también pueden compararse situándolas en una recta numérica. Primero se localizan 0 y 1, y después se divide el segmento entre ambos en tantas partes iguales como indique el denominador. El numerador señala cuántas de esas partes se cuentan desde el cero.

Una dificultad es que cada fracción puede dividir el segmento en un número diferente de partes. Para colocar dos fracciones con precisión, resulta útil dividir la unidad en un número de partes que sea múltiplo de ambos denominadores. De este modo, las dos posiciones pueden observarse sobre una misma escala.

En la recta numérica, la fracción situada más a la derecha es la mayor y la situada más a la izquierda es la menor. Si ocupan exactamente el mismo punto, son equivalentes.

Errores frecuentes al comparar fracciones

• Comparar solo los numeradores: que un numerador sea mayor no garantiza que la fracción completa lo sea.
• Comparar solo los denominadores: el denominador más pequeño produce una fracción mayor únicamente cuando los numeradores son iguales.
• Sumar los numeradores y denominadores: esta operación no es un procedimiento válido para decidir cuál de dos fracciones es mayor.
• Multiplicar un solo elemento: si se multiplica el denominador para crear una fracción equivalente, también hay que multiplicar el numerador por el mismo número.
• Olvidar el sentido de la resta: al usar productos cruzados, hay que asociar cada numerador con el denominador de la otra fracción.
• No simplificar cuando hace falta: una fracción como 18/24 puede reducirse a 3/4, lo que facilita algunas comparaciones.

Procedimiento recomendado

1. Escribe las dos fracciones con claridad.
2. Comprueba si tienen el mismo denominador.
3. Si los numeradores son iguales, compara los denominadores, siempre que sean positivos.
4. Si todos los números son diferentes, elige entre denominador común y multiplicación cruzada.
5. Realiza las operaciones con cuidado y compara los resultados.
6. Escribe la conclusión utilizando el signo adecuado: >, < o =.

Por ejemplo, para comparar 5/9 y 8/15 mediante productos cruzados:

5 × 15 = 75

8 × 9 = 72

Como 75 es mayor que 72, se escribe:

5/9 > 8/15

Ejercicios de comparación

Indica en cada caso qué relación existe entre las fracciones: mayor que, menor que o igual que.

1. 3/10 y 3/14
2. 7/16 y 5/12
3. 9/20 y 2/5
4. 14/21 y 2/3
5. 11/18 y 5/9
6. 4/7 y 13/21
7. 6/11 y 7/13
8. 15/24 y 5/8

Soluciones razonadas

1. 3/10 y 3/14: tienen el mismo numerador. Como 10 es menor que 14, 3/10 es mayor. Resultado: 3/10 > 3/14.

2. 7/16 y 5/12: se comparan los productos cruzados: 7 × 12 = 84 y 5 × 16 = 80. Resultado: 7/16 > 5/12.

3. 9/20 y 2/5: se transforma 2/5 en 8/20. Como 9/20 es mayor que 8/20, el resultado es 9/20 > 2/5.

4. 14/21 y 2/3: 14/21 se simplifica dividiendo entre 7, y se obtiene 2/3. Por tanto: 14/21 = 2/3.

5. 11/18 y 5/9: 5/9 equivale a 10/18. Como 11/18 es mayor que 10/18, se cumple que 11/18 > 5/9.

6. 4/7 y 13/21: 4/7 equivale a 12/21. Como 12 es menor que 13, el resultado es 4/7 < 13/21.

7. 6/11 y 7/13: los productos cruzados son 6 × 13 = 78 y 7 × 11 = 77. Por tanto: 6/11 > 7/13.

8. 15/24 y 5/8: al simplificar 15/24 dividiendo entre 3 se obtiene 5/8. Resultado: 15/24 = 5/8.

La idea esencial es que las fracciones deben compararse como cantidades completas. Igualar denominadores permite comparar numeradores; la multiplicación cruzada ofrece el mismo resultado de forma más rápida. Escoger uno u otro método depende de los números y de cuál resulte más claro en cada ejercicio.