Desarrollo de un prisma paso a paso

El desarrollo de un prisma es la representación plana de todas sus caras, colocadas de manera que puedan recortarse, doblarse y formar de nuevo el cuerpo geométrico. En dibujo técnico, desarrollar un prisma significa transformar su superficie tridimensional en una figura plana sin modificar las dimensiones reales de sus caras.

Resumen

El desarrollo de un prisma representa en plano todas sus caras para recortarlas y plegarlas. Consta de dos bases iguales y tantas caras laterales como lados tenga la base. En un prisma recto, las caras laterales son rectángulos: su altura coincide con la del prisma y su anchura, con cada lado de la base. Se dibuja una base, se añaden las caras laterales y la segunda, respetando la escala, y se incorporan pestañas y líneas de plegado. El área lateral es perímetro de la base × altura.

Qué es un prisma

Un prisma es un poliedro formado por dos polígonos iguales y paralelos, llamados bases, unidos por caras laterales. En un prisma recto, las caras laterales son rectángulos y las aristas laterales son perpendiculares a las bases.

Sus elementos principales son:

• Bases: los dos polígonos iguales y paralelos que limitan el prisma.
• Caras laterales: los paralelogramos que unen los lados correspondientes de las bases. En un prisma recto son rectángulos.
• Aristas: los segmentos donde se encuentran dos caras.
• Vértices: los puntos donde se unen varias aristas.
• Altura: la distancia perpendicular entre las dos bases.

El número de caras laterales coincide con el número de lados de la base. Por ejemplo, un prisma triangular tiene tres caras laterales, mientras que un prisma pentagonal tiene cinco.

Qué forma tiene el desarrollo de un prisma

El desarrollo de un prisma está compuesto por:

• Dos copias iguales de la base.
• Una serie de rectángulos, uno por cada lado de la base, en un prisma recto.

Los rectángulos laterales se colocan unidos por sus lados consecutivos. La longitud horizontal de cada rectángulo coincide con un lado de la base y su altura coincide con la altura del prisma. Al plegar la serie de rectángulos, sus extremos se unen y forman la superficie lateral.

La disposición de las caras puede variar. Las dos bases pueden colocarse junto a cualquiera de los rectángulos, siempre que el conjunto permita cerrar correctamente el cuerpo. Por eso puede haber varios desarrollos planos válidos de un mismo prisma.

Datos necesarios antes de comenzar

Para construir el desarrollo hay que conocer las medidas del prisma:

• La forma y las dimensiones de la base.
• La altura del prisma.
• La escala de representación, si el dibujo no se realiza a tamaño real.

En un prisma recto, la altura de cada rectángulo lateral es la altura del prisma. La otra dimensión depende del lado correspondiente de la base. Si la base tiene lados de longitudes diferentes, los rectángulos laterales no tendrán todos la misma anchura.

Desarrollo de un prisma paso a paso

1. Analizar la base

Primero se identifica el polígono que forma la base y se cuentan sus lados. Este dato indica cuántas caras laterales habrá que dibujar.

Por ejemplo, si la base es un cuadrado, el prisma tendrá cuatro caras laterales. Si la base es un triángulo, tendrá tres.

2. Elegir la escala

Si el prisma es demasiado grande para el papel, se utiliza una escala de reducción. Todas las medidas deben multiplicarse por el mismo factor. No se puede reducir la altura y mantener los lados de la base con las medidas originales.

Por ejemplo, a escala 1:2, una longitud real de 8 cm se representa con 4 cm. La relación debe mantenerse en todas las dimensiones.

3. Dibujar la primera base

Se construye el polígono de la base con sus medidas exactas. Para hacerlo pueden utilizarse regla, escuadra, compás y transportador, según la forma del polígono.

Es importante que los lados de la base tengan la longitud correcta, porque cada uno de ellos servirá como unión con una cara lateral.

4. Construir las caras laterales

Desde cada lado de la base se dibuja un rectángulo cuya altura sea igual a la altura del prisma. El lado de la base actúa como uno de los lados del rectángulo.

Si la base es un polígono regular y el prisma es recto, todos los rectángulos laterales tienen la misma altura y la misma anchura. Si la base no es regular, cada rectángulo tendrá como anchura la longitud del lado correspondiente.

Los rectángulos deben quedar unidos por sus lados, sin dejar espacios entre ellos. La secuencia de anchuras debe seguir el orden de los lados de la base.

5. Añadir la segunda base

Se dibuja una segunda copia de la base junto a uno de los lados libres de las caras laterales. Debe tener exactamente la misma forma y las mismas dimensiones que la primera.

La segunda base también puede situarse en otra posición del desarrollo, siempre que quede conectada a una cara lateral y pueda plegarse para cerrar el prisma.

6. Incorporar las pestañas de unión

Las pestañas no forman parte de la superficie geométrica estricta, pero son útiles si el desarrollo se va a recortar y montar. Se añaden pequeñas prolongaciones junto a algunos bordes exteriores para aplicar pegamento o cinta adhesiva.

Las pestañas deben colocarse en los bordes exteriores, no en los pliegues que deben permanecer unidos. Conviene dibujarlas con una anchura uniforme y con los extremos ligeramente inclinados para facilitar el montaje.

7. Marcar las líneas de plegado

Las líneas que separan las caras deben marcarse como líneas de plegado. En una maqueta, pueden repasarse suavemente con la parte sin filo de un cúter, con un bolígrafo sin tinta o con una herramienta de hendido.

Las líneas de corte deben distinguirse de las líneas de plegado. Las primeras delimitan el contorno exterior y las pestañas; las segundas separan las caras que se doblarán.

8. Revisar, recortar y montar

Antes de recortar, hay que comprobar que:

• Hay dos bases iguales.
• El número de caras laterales coincide con el número de lados de la base.
• Cada cara lateral tiene la anchura correspondiente al lado de la base.
• Todas las caras laterales tienen la altura correcta.
• Las pestañas permiten unir las partes sin cubrir caras necesarias.

Después se recorta el contorno, se marcan los pliegues y se doblan las caras. Finalmente, se unen las pestañas hasta cerrar el prisma.

Ejemplo: desarrollo de un prisma rectangular

Consideremos un prisma rectangular de 6 cm de largo, 3 cm de ancho y 4 cm de altura.

Sus bases son rectángulos de 6 cm por 3 cm. Como cada base tiene cuatro lados, la superficie lateral está formada por cuatro rectángulos:

• Dos rectángulos de 6 cm por 4 cm.
• Dos rectángulos de 3 cm por 4 cm.

Una forma sencilla de organizar el desarrollo consiste en colocar los cuatro rectángulos lateralmente, alternando sus anchuras: 6 cm, 3 cm, 6 cm y 3 cm. La altura común de la franja es de 4 cm. Después se añade un rectángulo de 6 cm por 3 cm para cada base.

Al plegar la franja lateral, los rectángulos de 6 cm coinciden con los lados largos de las bases y los de 3 cm coinciden con los lados cortos.

Ejemplo: desarrollo de un prisma triangular

Supongamos un prisma recto cuya base es un triángulo con lados de 3 cm, 4 cm y 5 cm, y cuya altura es de 7 cm.

El desarrollo tendrá:

• Dos triángulos iguales de lados 3 cm, 4 cm y 5 cm.
• Un rectángulo de 3 cm por 7 cm.
• Un rectángulo de 4 cm por 7 cm.
• Un rectángulo de 5 cm por 7 cm.

Los tres rectángulos se colocan unidos por sus lados de 7 cm. Sus anchuras siguen el orden de los lados del triángulo. Las dos bases triangulares se incorporan en los bordes libres de la franja.

Cómo calcular las dimensiones de la superficie lateral

En un prisma recto, la suma de las anchuras de todos los rectángulos laterales es igual al perímetro de la base. Por tanto, la longitud total de la franja lateral es:

Perímetro de la base × altura del prisma

Esta expresión corresponde al área lateral:

Área lateral = perímetro de la base × altura

Si se desea calcular toda la superficie del desarrollo, se suman las dos bases:

Área total = área lateral + 2 × área de la base

Estas fórmulas permiten comprobar si las dimensiones dibujadas son coherentes con las del prisma.

Prismas regulares y no regulares

En un prisma regular, las bases son polígonos regulares, como un cuadrado o un hexágono regular. En un prisma recto con base regular, las caras laterales suelen ser rectángulos iguales.

En un prisma cuya base no es regular, las caras laterales pueden tener anchuras diferentes, porque los lados de la base no miden lo mismo. Sin embargo, todas mantienen la misma altura si el prisma es recto.

Diferencia entre un prisma recto y un prisma oblicuo

En un prisma recto, las aristas laterales son perpendiculares a las bases y las caras laterales son rectángulos. Por eso su desarrollo se construye directamente con rectángulos cuya altura es la altura perpendicular del prisma.

En un prisma oblicuo, las aristas laterales están inclinadas respecto a las bases. Sus caras laterales son paralelogramos y no basta con dibujar rectángulos de altura perpendicular. Para obtener un desarrollo exacto hay que determinar las longitudes reales de las aristas y de las diagonales o lados necesarios, utilizando procedimientos de geometría descriptiva.

Errores frecuentes

• Confundir la altura con una arista inclinada: en un prisma oblicuo no siempre coinciden.
• Copiar una sola anchura para todas las caras: solo es correcto cuando todos los lados de la base son iguales.
• Dibujar bases de distinto tamaño: las bases de un prisma deben ser iguales.
• Olvidar una cara lateral: el número de caras laterales debe coincidir con el número de lados de la base.
• No dejar pestañas de unión: el desarrollo geométrico puede ser correcto, pero la maqueta será difícil de montar.
• Usar medidas aproximadas: pequeños errores acumulados pueden impedir que los bordes coincidan al cerrar el prisma.

Comprobación final del desarrollo

Un desarrollo es correcto si, al imaginar o realizar los pliegues, cada cara ocupa su posición sin superponerse indebidamente y todos los bordes que deben unirse tienen la misma longitud. También debe conservar las dimensiones de la superficie del prisma: las dos bases deben ser congruentes y la suma de las anchuras laterales debe coincidir con el perímetro de la base.

La idea fundamental es sencilla: dibujar dos bases iguales y unirlas mediante tantas caras laterales como lados tenga la base. En un prisma recto, esas caras laterales son rectángulos; sus anchuras proceden de los lados de la base y su altura coincide con la altura del prisma.