Diferencias entre prismas y pirámides

Los prismas y las pirámides son poliedros, es decir, cuerpos geométricos formados exclusivamente por caras planas y polígonos. Aunque ambos pueden tener bases poligonales y se estudian juntos en geometría y dibujo técnico, presentan diferencias claras en la forma de sus caras, en la disposición de sus vértices y en la manera de calcular su superficie y su volumen.

Resumen

Los prismas y las pirámides son poliedros de caras planas. Un prisma tiene dos bases iguales y paralelas, unidas por caras laterales que son paralelogramos; una pirámide posee una sola base poligonal y caras laterales triangulares que convergen en un vértice común. La altura siempre es perpendicular a la base. Si esta tiene n lados, el prisma tiene 2n vértices y la pirámide, n+1. Sus volúmenes son Ab·h y (Ab·h)/3, respectivamente.

Qué es un prisma

Un prisma es un poliedro que tiene dos bases iguales y paralelas, situadas en planos diferentes. Las bases están unidas entre sí por caras laterales que, en un prisma recto, son rectángulos.

Las dos bases tienen la misma forma y el mismo tamaño. Por ejemplo, un prisma triangular posee dos triángulos iguales y paralelos como bases, mientras que un prisma hexagonal tiene dos hexágonos iguales y paralelos.

Partes de un prisma

• Bases: son los dos polígonos iguales y paralelos.
• Caras laterales: son los paralelogramos que conectan los lados correspondientes de las bases. En los prismas rectos son rectángulos.
• Aristas: son los segmentos donde se encuentran dos caras. Hay aristas correspondientes en cada base y aristas laterales que unen ambas bases.
• Vértices: son los puntos donde se reúnen varias aristas.
• Altura: es la distancia perpendicular entre los planos de las dos bases.

Un prisma se llama recto cuando sus aristas laterales son perpendiculares a las bases. Si las aristas laterales están inclinadas, se denomina prisma oblicuo.

Qué es una pirámide

Una pirámide es un poliedro formado por una base poligonal y varias caras laterales triangulares. Todas las caras laterales tienen un vértice común, llamado vértice de la pirámide.

La forma de la base determina el nombre de la pirámide. Así, una pirámide triangular tiene un triángulo como base, una pirámide cuadrangular tiene un cuadrilátero y una pirámide pentagonal tiene un pentágono.

Partes de una pirámide

• Base: es el polígono situado en la parte inferior o de referencia.
• Caras laterales: son triángulos que tienen un lado coincidente con un lado de la base.
• Vértice: es el punto común en el que se encuentran todas las caras laterales.
• Aristas de la base: son los lados del polígono de la base.
• Aristas laterales: unen el vértice de la pirámide con los vértices de la base.
• Altura: es la distancia perpendicular desde el vértice hasta el plano de la base.

Una pirámide es recta cuando la perpendicular trazada desde el vértice hasta la base llega al centro de esta. Si no cumple esta condición, es una pirámide oblicua. En una pirámide regular, además, la base es un polígono regular y las caras laterales son triángulos iguales.

Diferencias principales entre prismas y pirámides

La diferencia esencial está en el número de bases y en la forma de las caras laterales:

• Un prisma tiene dos bases iguales y paralelas; una pirámide tiene una sola base.
• Las caras laterales de un prisma son generalmente paralelogramos; las de una pirámide son siempre triángulos.
• En un prisma no existe un único vértice común para todas las caras laterales. En una pirámide, todas las caras laterales se unen en un vértice común.
• Las aristas laterales de un prisma son paralelas entre sí. En una pirámide, las aristas laterales parten de un mismo vértice y no son paralelas.
• Un prisma mantiene una sección transversal igual a la base cuando se corta mediante un plano paralelo a ella. En una pirámide, esas secciones son polígonos semejantes a la base, pero de tamaño variable.
• El volumen de un prisma es el área de la base multiplicada por la altura. El de una pirámide es la tercera parte de ese producto.

Comparación del número de caras, vértices y aristas

Si la base de un prisma o de una pirámide tiene n lados, se pueden establecer sus elementos de forma general.

• Prisma: tiene 2 bases, n caras laterales, 2n vértices y 3n aristas.
• Pirámide: tiene 1 base, n caras laterales triangulares, n + 1 vértices y 2n aristas.

Por ejemplo, un prisma pentagonal tiene dos pentágonos, cinco caras laterales, diez vértices y quince aristas. Una pirámide pentagonal tiene un pentágono, cinco caras laterales triangulares, seis vértices y diez aristas.

Fórmulas del volumen

Para calcular el volumen de ambos cuerpos se necesita conocer el área de la base y la altura. La altura debe medirse perpendicularmente a la base, no confundirse con una arista inclinada o con la altura de una cara lateral.

Volumen de un prisma:

V = Ab · h

donde Ab es el área de una base y h es la altura del prisma.

Volumen de una pirámide:

V = (Ab · h) / 3

Por tanto, un prisma y una pirámide con la misma área de base y la misma altura no tienen el mismo volumen: la pirámide ocupa exactamente la tercera parte del volumen del prisma.

Ejemplo de cálculo

Un prisma y una pirámide tienen una base cuya área es de 20 cm² y una altura de 9 cm.

• Volumen del prisma: V = 20 · 9 = 180 cm³.
• Volumen de la pirámide: V = (20 · 9) / 3 = 60 cm³.

La diferencia se debe al factor 1/3 que aparece en la fórmula de la pirámide.

Superficie y desarrollo plano

El desarrollo plano es la representación de un cuerpo geométrico extendido sobre un plano. Sirve para estudiar sus caras y para construir modelos mediante recorte y plegado.

El desarrollo plano de un prisma contiene dos polígonos iguales, correspondientes a las bases, y una serie de paralelogramos o rectángulos que forman la superficie lateral. En un prisma recto de base regular, estos rectángulos suelen disponerse formando una banda.

El desarrollo plano de una pirámide contiene un polígono que representa la base y varios triángulos unidos por sus lados. El número de triángulos laterales coincide con el número de lados de la base.

Para calcular el área total:

• Prisma: At = 2Ab + Al, donde Al es el área lateral.
• Pirámide: At = Ab + Al.

En una pirámide regular, el área lateral puede calcularse mediante Al = (Pb · ap) / 2, donde Pb es el perímetro de la base y ap es la apotema lateral. La apotema lateral es la altura de una cara triangular, no la altura perpendicular de toda la pirámide.

Tipos frecuentes de prismas y pirámides

Prismas según la forma de la base

• Prisma triangular: sus bases son triángulos.
• Prisma cuadrangular: sus bases son cuadriláteros. Un caso particular es el paralelepípedo.
• Prisma pentagonal: sus bases son pentágonos.
• Prisma hexagonal: sus bases son hexágonos.

También se distinguen prismas rectos y oblicuos según la posición de sus aristas laterales respecto de las bases.

Pirámides según la forma de la base

• Pirámide triangular: tiene un triángulo como base.
• Pirámide cuadrangular: tiene un cuadrilátero como base.
• Pirámide pentagonal: tiene un pentágono como base.
• Pirámide hexagonal: tiene un hexágono como base.

Las pirámides también pueden ser rectas u oblicuas. Si la base es regular y el vértice está alineado con su centro, se trata de una pirámide regular recta.

Cómo reconocerlos en un dibujo técnico

Para identificar un prisma en una representación, conviene buscar dos polígonos congruentes y paralelos. Después hay que comprobar que sus vértices correspondientes están unidos mediante aristas laterales paralelas. Las caras laterales pueden aparecer como rectángulos, paralelogramos o cuadriláteros deformados por la perspectiva.

Para reconocer una pirámide, se debe localizar una única base poligonal y un vértice separado de ella. Desde ese vértice parten aristas hacia todos los vértices de la base, formando caras triangulares.

En las vistas de un objeto, algunas aristas pueden quedar ocultas. En dibujo técnico suelen representarse con líneas discontinuas, mientras que las aristas visibles se dibujan con líneas continuas. La perspectiva puede cambiar la apariencia de las figuras, pero no sus propiedades geométricas fundamentales.

Errores frecuentes

• Confundir un prisma con una pirámide porque ambos tienen una base poligonal. La existencia de una segunda base paralela es propia del prisma.
• Llamar “base” a cualquier cara. En un prisma hay dos bases equivalentes; en una pirámide se considera una base principal y las demás caras son laterales.
• Usar la apotema lateral como altura de la pirámide. La altura de la pirámide siempre es perpendicular al plano de la base.
• Pensar que todas las caras laterales de un prisma son rectángulos. Esto solo ocurre en los prismas rectos; en los oblicuos son paralelogramos.
• Aplicar la fórmula del prisma a una pirámide. El volumen de la pirámide incluye el factor 1/3.

Resumen para estudiar

• El prisma tiene dos bases iguales y paralelas.
• La pirámide tiene una base y un vértice común para sus caras laterales.
• Las caras laterales del prisma son paralelogramos; las de la pirámide son triángulos.
• Si la base tiene n lados, el prisma tiene 2n vértices y la pirámide tiene n + 1.
• El volumen del prisma es Ab · h.
• El volumen de la pirámide es (Ab · h) / 3.