La circunferencia y el círculo para niños: diferencias, elementos y fórmulas

La circunferencia y el círculo aparecen continuamente en objetos cotidianos, como una rueda, una tapa, una galleta o la esfera dibujada en un papel. Aunque a veces utilizamos estas palabras como si significaran lo mismo, en geometría representan cosas diferentes. La circunferencia es el borde curvo y el círculo es la superficie que queda dentro de ese borde.

Resumen

La circunferencia es la línea curva cerrada que forma el borde, mientras que el círculo es la superficie interior. Sus elementos son centro, radio, diámetro, cuerda, arco y sector circular; el diámetro mide el doble que el radio. La longitud se calcula con L = 2 · π · r o L = π · d, y el área con A = π · r². Las rectas pueden ser exteriores, secantes o tangentes según el número de cortes. Longitud y área utilizan unidades diferentes.

¿Qué es una circunferencia?

Una circunferencia es una línea curva, cerrada y plana. Todos los puntos de esa línea están a la misma distancia de un punto fijo llamado centro. Por eso, si colocamos la punta de un compás en el centro y mantenemos fija la abertura, podemos dibujar una circunferencia completa.

La distancia entre el centro y cualquiera de los puntos de la circunferencia siempre es la misma. Esa distancia recibe el nombre de radio. Si un punto de la curva estuviera más cerca o más lejos del centro que los demás, la figura ya no sería una circunferencia perfecta.

La circunferencia no tiene interior: es únicamente la línea que marca el límite. Esta es una diferencia importante respecto de los polígonos. Un cuadrado, un triángulo o un pentágono también son figuras cerradas, pero sus límites están formados por segmentos rectos. En cambio, el límite de una circunferencia es una línea curva continua.

¿Qué es un círculo?

El círculo es la superficie plana que está dentro de una circunferencia, incluyendo la propia frontera. Dicho de otra forma, cuando coloreamos todo el interior de una circunferencia, la zona coloreada representa un círculo.

Por ejemplo, en el dibujo de una moneda visto desde arriba, el borde exterior puede compararse con una circunferencia y toda la cara de la moneda con un círculo. Lo mismo ocurre con el contorno de una señal redonda y la región que ocupa su interior.

La diferencia puede recordarse con una imagen sencilla: si dibujas una línea redonda con un lápiz, trazas una circunferencia; si después rellenas la zona que queda dentro, obtienes un círculo.

Elementos de la circunferencia y del círculo

Muchas partes reciben el mismo nombre en ambas figuras porque están relacionadas. Para estudiarlas, se suele dibujar una circunferencia y señalar su centro, sus segmentos y algunas regiones interiores.

• Centro: es el punto situado en el interior que está a la misma distancia de todos los puntos de la circunferencia. Se suele nombrar con una letra mayúscula, como O.
• Radio: es el segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia. Todos los radios de una misma figura tienen la misma longitud. Normalmente se representa con la letra r.
• Diámetro: es el segmento que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. Su longitud equivale a dos radios, por lo que se cumple d = 2 · r. El diámetro suele representarse con la letra d.
• Cuerda: es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. No tiene que pasar por el centro. Cuando una cuerda sí pasa por el centro, recibe un nombre especial: diámetro. Por eso, el diámetro es la cuerda de mayor longitud de una circunferencia.
• Arco: es un tramo de la línea curva de la circunferencia comprendido entre dos puntos. Un diámetro divide la circunferencia en dos arcos iguales, y cada uno de ellos es una semicircunferencia.
• Sector circular: es una región del círculo limitada por dos radios y el arco que queda entre ellos. Tiene una forma parecida a una porción de tarta.
• Flecha o sagita: es el segmento perpendicular a una cuerda que une el punto medio de esa cuerda con el arco correspondiente. Se utiliza para indicar la distancia entre la cuerda y la circunferencia.

Radio y diámetro: la relación más importante

El radio y el diámetro están directamente relacionados. El diámetro siempre mide el doble que el radio y el radio mide la mitad que el diámetro.

• Para obtener el diámetro: d = 2 · r.
• Para obtener el radio: r = d ÷ 2.

Por ejemplo, si una circunferencia tiene un radio de 6 cm, su diámetro mide 12 cm. Si conocemos un diámetro de 20 cm, el radio será de 10 cm. Esta relación sirve tanto para resolver problemas como para comprobar si un resultado es razonable.

Posiciones de una recta respecto de una circunferencia

Una recta puede situarse de distintas maneras en relación con una circunferencia. Para clasificarlas, hay que observar cuántos puntos tienen en común.

• Recta exterior: no toca la circunferencia en ningún punto. Se encuentra completamente separada de ella.
• Recta secante: atraviesa la circunferencia y tiene dos puntos en común con ella. Entra por un lado y sale por otro.
• Recta tangente: toca la circunferencia en un único punto. Ese punto se llama punto de tangencia. La recta no atraviesa la figura.

Una forma de reconocerlas es contar los puntos de corte: cero puntos significa exterior, dos puntos indican una secante y un solo punto corresponde a una tangente.

Posiciones de dos circunferencias

Cuando se comparan dos circunferencias, también se pueden clasificar según el número de puntos que comparten y según si una queda dentro de la otra.

• Exteriores: están separadas y no tienen ningún punto en común.
• Tangentes exteriores: están fuera una de otra y se tocan en un solo punto.
• Secantes: se cruzan y comparten dos puntos.
• Tangentes interiores: una circunferencia está dentro de la otra y ambas se tocan en un único punto.
• Interiores: una queda completamente dentro de la otra sin tocarla.
• Concéntricas: tienen el mismo centro, aunque sus radios son diferentes. En este caso no se cortan.

En los ejercicios escolares, a veces se utiliza solamente la clasificación de exteriores, tangentes, secantes e interiores. La palabra concéntricas añade información sobre la posición de los centros.

¿Qué es la longitud de una circunferencia?

La longitud de una circunferencia es la medida de toda la línea curva que forma su borde. En un círculo, esta medida también puede llamarse perímetro del círculo. No debe confundirse con el área, que mide la superficie interior.

Para calcularla se utiliza el número π, que se lee “pi”. Es un número irracional: sus cifras decimales continúan indefinidamente y no forman un periodo que se repita. En los cálculos escolares se suele usar una aproximación como 3,14, 3,1416 o la tecla π de la calculadora.

Si conocemos el radio, aplicamos esta fórmula:

L = 2 · π · r

Si conocemos el diámetro, podemos utilizar esta otra:

L = π · d

Las dos expresiones dan el mismo resultado porque el diámetro es el doble del radio. La letra L representa la longitud de la circunferencia, r el radio y d el diámetro.

Ejemplo con el radio

Una fuente circular tiene un radio de 4,5 m. Para calcular la longitud de su borde, sustituimos el radio en la fórmula y usamos π ≈ 3,14:

L = 2 · 3,14 · 4,5

L = 28,26 m

El borde de la fuente mide aproximadamente 28,26 metros. Se escribe “aproximadamente” porque hemos sustituido π por un valor redondeado.

Ejemplo con el diámetro

Un reloj redondo tiene un diámetro de 30 cm. Como ya conocemos el diámetro, resulta más directo utilizar L = π · d:

L = 3,14 · 30

L = 94,2 cm

La longitud de la circunferencia del reloj es de aproximadamente 94,2 cm.

Cómo calcular el diámetro o el radio a partir de la longitud

La fórmula de la longitud también permite averiguar una medida que no conocemos. Lo importante es despejar la letra que buscamos.

Si partimos de L = π · d y queremos encontrar el diámetro, dividimos entre π:

d = L ÷ π

Si utilizamos L = 2 · π · r para hallar el radio, dividimos entre 2 · π:

r = L ÷ (2 · π)

Por ejemplo, si una pista circular tiene una longitud de 62,8 m y tomamos π ≈ 3,14, su diámetro se obtiene así:

d = 62,8 ÷ 3,14 = 20 m

Después podemos comprobarlo: 3,14 · 20 = 62,8 m.

Diferencia entre longitud y área

La longitud de la circunferencia mide únicamente el borde. En cambio, el área del círculo mide toda la superficie interior. Son magnitudes diferentes y se calculan con fórmulas distintas.

• Longitud de la circunferencia: L = 2 · π · r.
• Área del círculo: A = π · r².

En la fórmula del área, r² significa radio multiplicado por sí mismo. Por ejemplo, si el radio es 3 cm, r² = 3 · 3 = 9 cm². La longitud se expresa en unidades como cm o m, mientras que el área se expresa en unidades cuadradas, como cm² o m².

Si se quiere saber cuánto mide la cinta necesaria para rodear una cartulina redonda, se calcula la longitud. Si se desea saber cuánta pintura hace falta para cubrirla, se calcula el área.

Ejercicios sobre la circunferencia y el círculo

Resuelve estos ejercicios antes de consultar las soluciones. Utiliza π ≈ 3,14, salvo que se indique otra cosa.

1. Calcula la longitud de una circunferencia cuyo radio mide 7 cm.
2. Una pista circular tiene un diámetro de 16 m. ¿Cuál es la longitud de su borde?
3. Una circunferencia mide aproximadamente 50,24 cm. ¿Qué diámetro tiene?
4. Indica si cada afirmación es verdadera o falsa: a) todos los radios de una misma circunferencia tienen la misma longitud; b) una cuerda siempre pasa por el centro; c) el diámetro es el doble del radio.
5. Una recta corta a una circunferencia en dos puntos. ¿Es exterior, tangente o secante?
6. Un círculo tiene un radio de 5 cm. Calcula su área y expresa el resultado en centímetros cuadrados.

Soluciones explicadas

1. Como conocemos el radio, usamos L = 2 · π · r:

L = 2 · 3,14 · 7 = 43,96 cm

La longitud aproximada es de 43,96 cm.

2. En este caso conocemos el diámetro:

L = π · d = 3,14 · 16 = 50,24 m

El borde de la pista mide aproximadamente 50,24 m.

3. Para hallar el diámetro, dividimos la longitud entre π:

d = L ÷ π = 50,24 ÷ 3,14 = 16 cm

El diámetro es de 16 cm. Su radio sería la mitad: 8 cm.

4. La primera afirmación es verdadera: todos los radios de una misma circunferencia son iguales. La segunda es falsa, porque una cuerda puede no pasar por el centro; solo recibe el nombre de diámetro cuando pasa por él. La tercera es verdadera, ya que d = 2 · r.

5. Una recta que tiene dos puntos de corte con la circunferencia es una recta secante.

6. Para calcular el área usamos A = π · r²:

A = 3,14 · 5² = 3,14 · 25 = 78,5 cm²

El área del círculo es aproximadamente 78,5 cm².

Errores frecuentes

• Confundir el borde con la superficie: el borde es la circunferencia y la zona interior es el círculo.
• Usar el radio como si fuera el diámetro. Antes de sustituir los datos, conviene comprobar qué medida proporciona el problema.
• Aplicar la fórmula del área para calcular un perímetro o aplicar la fórmula de la longitud para calcular una superficie.
• Olvidar las unidades: una longitud se expresa en cm, m u otra unidad lineal; un área se expresa en cm², m², etc.
• Redondear demasiado pronto. Es preferible conservar varias cifras durante las operaciones y redondear solo en el resultado final.

Para identificar rápidamente qué fórmula necesitas, pregunta qué se está midiendo: si se mide una vuelta completa alrededor de la figura, busca la longitud de la circunferencia; si se mide todo lo que ocupa el interior, busca el área del círculo.