Propiedades de la división

La división permite repartir una cantidad en partes iguales o averiguar cuántas veces cabe un número dentro de otro. Para utilizarla correctamente no basta con saber hacer el cálculo: también es importante conocer sus propiedades y las situaciones en las que la operación no puede realizarse. En esta explicación veremos la propiedad fundamental, la no conmutatividad, el papel del 1 y del 0 y el motivo por el que la división no siempre produce un número natural o entero.

Resumen

La división relaciona dividendo, divisor, cociente y resto mediante la propiedad fundamental: D = d × c + r; el resto es menor que el divisor. No es interna en naturales o enteros, porque puede producir decimales, ni es conmutativa. Dividir entre 1 mantiene el valor. 0 dividido entre un número distinto de cero da 0, pero dividir entre 0 no está definido. La igualdad permite comprobar la operación multiplicando divisor por cociente y sumando el resto.

Elementos de una división

Antes de estudiar las propiedades, conviene identificar las partes de la operación:

• Dividendo: es la cantidad que se quiere repartir o dividir.
• Divisor: indica entre qué cantidad se divide el dividendo. No puede ser igual a cero.
• Cociente: es el resultado de la división.
• Resto: es la cantidad que sobra cuando la división no es exacta.

Por ejemplo, en la división 29 : 6, el 29 es el dividendo, el 6 es el divisor, el cociente es 4 y el resto es 5.

Resumen de las propiedades de la división

Las ideas principales pueden resumirse de la siguiente manera:

1. Propiedad fundamental: el dividendo se obtiene multiplicando el divisor por el cociente y sumando el resto, si lo hay.
2. No es una operación interna en los números naturales: al dividir dos naturales, el resultado puede no ser otro número natural.
3. No es conmutativa: cambiar de lugar el dividendo y el divisor modifica el resultado.
4. El 1 actúa como elemento neutro por la derecha: cualquier número dividido entre 1 conserva su valor.
5. El cero: cero dividido entre un número distinto de cero da cero, pero no se puede dividir un número entre cero.

La propiedad fundamental de la división

La propiedad fundamental relaciona las cuatro partes de una división. Se expresa con la fórmula:

D = d × c + r

En esta igualdad, D representa el dividendo, d el divisor, c el cociente y r el resto. Además, cuando se trabaja con números naturales, el resto siempre debe ser menor que el divisor.

División exacta

Una división es exacta cuando no sobra ninguna cantidad. En ese caso, el resto vale cero y la fórmula se simplifica:

D = d × c

Por ejemplo, 84 : 7 = 12. Si comprobamos la operación, 7 × 12 = 84. Como no queda nada por repartir, el resto es 0.

División inexacta

Una división es inexacta cuando, después de formar todos los grupos posibles, queda una cantidad sin repartir. Entonces el resto es distinto de cero:

D = d × c + r

Consideremos 38 : 5. El cociente entero es 7 y sobran 3 unidades. La comprobación es 5 × 7 + 3 = 38. Por tanto, el resto no debe ignorarse: forma parte de la relación que permite verificar la división.

La división no es una operación interna

Se dice que una operación es interna en un conjunto cuando, al operar con elementos de ese conjunto, el resultado siempre pertenece también a él. La división no cumple esta condición dentro de los números naturales, porque dos números naturales pueden dar un resultado decimal.

Por ejemplo, 7 : 4 = 1,75. Tanto 7 como 4 son números naturales, pero 1,75 no lo es. También puede ocurrir que el dividendo sea menor que el divisor: 3 : 8 = 0,375. El resultado sigue siendo válido, aunque no sea un número natural.

En una división con números enteros sucede algo parecido si se exige que el resultado sea otro entero. Por ejemplo, -11 : 2 = -5,5, que no es un número entero. Por eso, antes de afirmar que una división “no se puede hacer”, hay que distinguir entre dos ideas: la operación puede tener un resultado decimal, pero ese resultado quizá no pertenezca al conjunto numérico que estamos utilizando.

En los cálculos escolares con números naturales, cuando el resultado no es exacto se puede expresar mediante un cociente y un resto, o continuar la división para obtener un número decimal.

La división no es conmutativa

Una operación es conmutativa cuando cambiar el orden de sus elementos no cambia el resultado. La suma y la multiplicación sí tienen esta propiedad: por ejemplo, 4 + 9 y 9 + 4 dan el mismo resultado. La división, en cambio, no es conmutativa.

El dividendo y el divisor desempeñan funciones diferentes, por lo que no se pueden intercambiar sin alterar la operación. Así, 45 : 9 = 5, mientras que 9 : 45 = 0,2. Los dos cálculos utilizan las mismas cifras, pero representan divisiones distintas y producen resultados diferentes.

En general, salvo casos particulares, a : b no es igual a b : a. Además, ambas expresiones solo tienen sentido si sus divisores son distintos de cero.

El 1 como elemento neutro

Dividir cualquier número entre 1 no cambia su valor:

a : 1 = a

Por ejemplo, 63 : 1 = 63. Esto ocurre porque repartir 63 unidades en un solo grupo deja todas las unidades en ese grupo.

Es importante expresarlo con precisión: en la división, el 1 funciona como elemento neutro cuando aparece como divisor. No ocurre lo mismo si se coloca como dividendo. Por ejemplo, 1 : 6 = 0,1666..., que no es igual a 6.

El cero en la división

Cero dividido entre un número distinto de cero

Cuando el dividendo es 0 y el divisor no es 0, el cociente es 0:

0 : a = 0, siempre que a ≠ 0.

Por ejemplo, 0 : 13 = 0. Si no hay ninguna unidad que repartir entre varios grupos, a cada grupo le corresponden cero unidades.

Por qué no se puede dividir entre cero

La expresión a : 0 no está definida. Para comprenderlo, podemos utilizar la propiedad fundamental. Si intentáramos calcular 12 : 0, tendría que existir un número que, multiplicado por 0, produjera 12. Sin embargo, cualquier número multiplicado por 0 da 0, nunca 12.

Por tanto, no se puede dividir entre cero. Esta regla también afecta a 0 : 0: no tiene un resultado determinado, porque cualquier número multiplicado por 0 vuelve a dar 0. No debe confundirse esta situación con 0 dividido entre un número distinto de cero, que sí es igual a 0.

Cómo comprobar una división

La propiedad fundamental ofrece un procedimiento sencillo para revisar el cálculo:

1. Multiplica el divisor por el cociente.
2. Suma el resto, si la división no era exacta.
3. Comprueba que el resultado coincide con el dividendo.

Por ejemplo, si una división tiene divisor 8, cociente 6 y resto 2, la comprobación es 8 × 6 + 2 = 50. Por tanto, el dividendo correspondiente es 50. También hay que verificar que el resto sea menor que el divisor: 2 es menor que 8, así que la división está expresada correctamente.