Qué son las fracciones equivalentes

Las fracciones equivalentes son fracciones que tienen una apariencia distinta, pero representan exactamente la misma cantidad o la misma parte de una unidad. Por ejemplo, si una tarta se divide en seis porciones iguales y se toman tres, se ha tomado la mitad. Por eso, 3/6 y 1/2 son fracciones equivalentes.

Resumen

Las fracciones equivalentes representan la misma cantidad aunque tengan numeradores y denominadores distintos. Para comprobarlo, pueden calcularse los productos cruzados, comparar el resultado de las divisiones o verificar que se ha multiplicado o dividido ambos términos por el mismo número. Esta última operación permite crear fracciones equivalentes y simplificar una fracción. No se deben modificar los términos con operaciones diferentes, ni sumar o restar la misma cantidad, porque cambiaría la proporción representada.

Qué significa que dos fracciones sean equivalentes

Una fracción está formada por un numerador, que indica cuántas partes se consideran, y un denominador, que señala en cuántas partes iguales se divide la unidad. Cuando dos fracciones son equivalentes, sus numeradores y denominadores pueden ser diferentes, pero la proporción que expresan es la misma.

Por ejemplo, 4/10 y 2/5 representan la misma cantidad. En la primera fracción se consideran cuatro de diez partes; en la segunda, dos de cinco. Aunque las divisiones se hayan hecho de manera diferente, ambas expresan dos quintas partes de la unidad.

Cómo saber si dos fracciones son equivalentes

Hay varios procedimientos para comprobar si dos fracciones representan la misma cantidad. El más habitual consiste en calcular los productos cruzados.

1. Comparar mediante productos cruzados

Para comprobar si a/b y c/d son equivalentes, se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda. Después, se multiplica el denominador de la primera por el numerador de la segunda:

a × d y b × c

Si ambos resultados coinciden, las fracciones son equivalentes. Si son distintos, no lo son.

Veamos un caso diferente: ¿son equivalentes 7/9 y 21/27?

Los productos cruzados son:

7 × 27 = 189
9 × 21 = 189

Como los dos productos dan 189, podemos afirmar que 7/9 y 21/27 son fracciones equivalentes.

2. Multiplicar o dividir los dos términos por el mismo número

También podemos obtener una fracción equivalente si multiplicamos el numerador y el denominador por un mismo número distinto de cero. Es importante aplicar la misma operación a los dos términos; de lo contrario, cambiaría el valor de la fracción.

Por ejemplo, para encontrar una fracción equivalente a 7/12, multiplicamos ambos términos por 4:

7 × 4 = 28
12 × 4 = 48

Por tanto, 28/48 es equivalente a 7/12.

La operación inversa es dividir el numerador y el denominador por un divisor común. Si partimos de 18/30 y dividimos los dos términos entre 6, obtenemos 3/5. Así se consigue una fracción equivalente más sencilla. A este proceso se le llama simplificar una fracción.

3. Comparar el resultado de las divisiones

Otra posibilidad es dividir el numerador entre el denominador en cada fracción. Si las dos divisiones tienen el mismo resultado, las fracciones son equivalentes.

Por ejemplo:

9 ÷ 15 = 0,6
12 ÷ 20 = 0,6

Como ambas fracciones representan el mismo número decimal, 9/15 y 12/20 son equivalentes. Este procedimiento es correcto, aunque en algunos ejercicios los productos cruzados resultan más rápidos y evitan trabajar con decimales.

Cómo construir fracciones equivalentes

Para crear una fracción equivalente, basta con elegir un número y multiplicar por él tanto el numerador como el denominador. Por ejemplo, si queremos transformar 3/11 y elegimos el número 5:

3 × 5 = 15
11 × 5 = 55

La fracción obtenida es 15/55, que representa la misma cantidad que 3/11.

También se pueden generar fracciones equivalentes dividiendo los dos términos por un mismo número cuando existe un divisor común. Por ejemplo, 24/36 se puede dividir entre 12:

24 ÷ 12 = 2
36 ÷ 12 = 3

Así se obtiene 2/3. La fracción 2/3 es la forma simplificada de 24/36, pero ambas tienen el mismo valor.

No es válido sumar o restar un número igual al numerador y al denominador para obtener una fracción equivalente. Tampoco se debe multiplicar un término por un número y el otro por uno diferente. La operación debe conservar siempre la misma proporción.

Ejercicios sobre fracciones equivalentes

Resuelve estas actividades aplicando los procedimientos anteriores:

1. Escribe cuatro fracciones equivalentes a 4/7.
2. Comprueba si 8/14 y 20/35 son equivalentes mediante los productos cruzados.
3. Simplifica la fracción 35/50 hasta que no sea posible seguir reduciéndola.
4. Indica si 5/8 y 15/24 representan la misma cantidad. Justifica tu respuesta de dos formas distintas.

Soluciones

Estas son algunas respuestas posibles y la explicación de cada caso:

1. Se pueden obtener, por ejemplo, 8/14, 12/21, 16/28 y 20/35. En todos los casos se han multiplicado el numerador y el denominador de 4/7 por el mismo número.
2. Calculamos los productos cruzados: 8 × 35 = 280 y 14 × 20 = 280. Como los resultados coinciden, 8/14 y 20/35 son equivalentes.
3. El máximo divisor común de 35 y 50 es 5. Al dividir ambos términos entre 5, queda 7/10. Esta fracción ya no puede simplificarse con un divisor común mayor que 1.
4. Las fracciones sí son equivalentes. Por productos cruzados, 5 × 24 = 120 y 8 × 15 = 120. Además, al multiplicar 5/8 por 3 en el numerador y en el denominador se obtiene 15/24.

La idea fundamental es que una fracción equivalente puede escribirse con números distintos sin cambiar la cantidad que representa. Para comprobarlo, se pueden utilizar los productos cruzados, multiplicar o dividir los dos términos por el mismo número, o comparar el resultado de las divisiones.