Raíz cuadrada inexacta o entera: cómo calcularla paso a paso

La raíz cuadrada inexacta o entera es la que se obtiene cuando el número situado dentro del radical no es un cuadrado perfecto. En estos casos, el resultado no es un número entero exacto, pero sí podemos encontrar su parte entera y el resto de la operación. Para comprenderla bien, conviene compararla primero con la raíz cuadrada exacta.

Resumen

Una raíz cuadrada es exacta si el radicando es un cuadrado perfecto y el resultado es entero, con resto 0. Si no lo es, resulta inexacta o entera: se busca la mayor parte entera cuyo cuadrado no supere el radicando y se calcula el resto mediante n − r². Debe cumplirse r² ≤ n

¿Qué es una raíz cuadrada exacta?

Una raíz cuadrada es exacta cuando el radicando, es decir, el número que aparece dentro del signo radical, puede expresarse como el producto de un número entero por sí mismo. Dicho de otra manera, el radicando es un cuadrado perfecto.

La raíz cuadrada se relaciona con las potencias de exponente 2. Por ejemplo, como 8 · 8 = 64, también podemos escribir 82 = 64. Por tanto, la raíz cuadrada de 64 es 8:

√64 = 8

La pregunta que plantea una raíz cuadrada exacta es: ¿qué número multiplicado por sí mismo produce el radicando?

Elementos de una raíz cuadrada

En una expresión como √64 podemos distinguir varios elementos:

• Radical: es el signo √ que indica que debemos calcular una raíz.
• Índice: señala el tipo de raíz. En la raíz cuadrada el índice es 2, aunque normalmente no se escribe.
• Radicando: es el número que está dentro del radical, en este caso, 64.
• Raíz: es el resultado de la operación, que aquí es 8.

La radicación es la operación inversa de la potenciación. Si 82 = 64, entonces √64 = 8. En una raíz cuadrada exacta, el resultado es un número entero y no queda ninguna cantidad pendiente.

¿Qué es una raíz cuadrada entera o inexacta?

Una raíz cuadrada es entera o inexacta cuando el radicando no es un cuadrado perfecto. En ese caso, no existe un número entero que, multiplicado por sí mismo, dé exactamente el radicando.

Por ejemplo, √70 no es exacta. Sabemos que 8 · 8 = 64 y que 9 · 9 = 81. Como 70 está entre 64 y 81, su raíz está entre 8 y 9. No podemos obtener un resultado entero exacto; sin embargo, la parte entera de la raíz es 8.

También podemos expresar esta situación mediante una división con resto:

70 = 82 + 6

Por tanto, la raíz cuadrada entera de 70 es 8 y el resto es 6. El resto no es la parte decimal de la raíz, sino la cantidad que falta para llegar desde el cuadrado de la parte entera hasta el radicando.

¿Cómo se calcula la raíz cuadrada entera?

Para hallar la raíz cuadrada entera de un número, debemos buscar el mayor número entero cuyo cuadrado sea menor que el radicando. Si llamamos a ese número r y al radicando n, el resto se calcula así:

Resto = n − r2

El número elegido debe cumplir dos condiciones:

• Su cuadrado tiene que ser menor o igual que el radicando.
• El cuadrado del número entero siguiente debe ser mayor que el radicando.

Por ejemplo, para calcular la raíz cuadrada entera de 115:

• 102 = 100.
• 112 = 121.
• 115 está entre 100 y 121, así que la parte entera es 10.
• El resto es 115 − 100 = 15.

En consecuencia, la raíz cuadrada entera de 115 es 10, con resto 15. La igualdad que lo comprueba es:

115 = 102 + 15

¿Cómo saber si una raíz es exacta o inexacta?

Hay que comprobar si el radicando es un cuadrado perfecto. Para hacerlo, buscamos un número entero que, elevado al cuadrado, produzca exactamente ese radicando.

• Si existe ese número, la raíz es exacta y el resto es 0.
• Si no existe, la raíz es inexacta o entera y queda un resto distinto de 0.

Observa estos casos:

• √121 = 11, porque 11 · 11 = 121. Es una raíz exacta.
• √130 no es exacta, porque 112 = 121 y 122 = 144. Su parte entera es 11 y su resto es 9.

En el segundo caso, la comprobación es 130 = 112 + 9. Si se desea una aproximación decimal, √130 es aproximadamente 11,40, pero esa expresión decimal no debe confundirse con la raíz cuadrada entera, que es 11.

Raíces cuadradas exactas que conviene conocer

Memorizar algunos cuadrados perfectos facilita el cálculo mental y permite localizar rápidamente la parte entera de una raíz inexacta.

• 12 = 1
• 22 = 4
• 32 = 9
• 42 = 16
• 52 = 25
• 62 = 36
• 72 = 49
• 82 = 64
• 92 = 81
• 102 = 100
• 122 = 144
• 152 = 225

No es necesario aprender todos los cuadrados de memoria para resolver una raíz, pero conocer los más habituales ayuda a encontrar con rapidez los dos cuadrados perfectos entre los que se encuentra el radicando.

Raíz cuadrada entera de un número grande

Cuando el radicando tiene muchas cifras, podemos utilizar el procedimiento tradicional de la raíz cuadrada. El método permite obtener la parte entera y el resto sin recurrir a una calculadora.

Primer paso: escribir la raíz y agrupar las cifras

Se escribe el símbolo de la raíz y se separan las cifras del radicando en grupos de dos, empezando por la derecha. Si el número de cifras es impar, el primer grupo tendrá una sola cifra.

Tomemos como ejemplo √18 769. Los grupos son:

18 | 76 | 9

Para aplicar el procedimiento con claridad, se considera el último grupo como 09. Por tanto, trabajaremos con 18 | 76 | 09.

Segundo paso: buscar la primera cifra de la raíz

Observamos el primer grupo, 18, y buscamos el mayor número cuyo cuadrado no lo supere. Como 42 = 16 y 52 = 25, la primera cifra de la raíz es 4.

Restamos el cuadrado elegido:

18 − 16 = 2

La primera cifra obtenida de la raíz es, por ahora, 4.

Tercer paso: bajar el siguiente grupo

Bajamos el grupo siguiente, 76, junto al resto 2. Obtenemos 276. Ahora duplicamos la raíz parcial, que es 4:

4 · 2 = 8

Debemos encontrar una cifra x que complete el número 8x y cumpla esta condición:

(80 + x) · x ≤ 276

Probamos con 3:

83 · 3 = 249

El resultado no supera 276. Si probáramos con 4, obtendríamos 84 · 4 = 336, que es demasiado grande. Por eso, la siguiente cifra es 3.

Restamos:

276 − 249 = 27

La raíz parcial pasa a ser 43.

Cuarto paso: repetir el procedimiento

Bajamos el último grupo, 09, junto al resto 27. El nuevo número es 2709. Duplicamos la raíz parcial:

43 · 2 = 86

Buscamos una cifra x tal que:

(860 + x) · x ≤ 2709

Probamos con 3:

863 · 3 = 2589

El producto es válido. Con 4, en cambio, 864 · 4 = 3456, que supera 2709. Por tanto, la última cifra es 3.

Calculamos el resto:

2709 − 2589 = 120

La raíz cuadrada entera de 18 769 es 433 y el resto es 120.

La comprobación final es:

18 769 = 4332 + 120

Regla para comprobar el resultado

En una raíz cuadrada entera, el resto debe ser siempre menor que el doble de la parte entera más uno. Si la parte entera es r, se debe cumplir:

0 ≤ resto < 2r + 1

La razón es que el siguiente cuadrado se obtiene así:

(r + 1)2 = r2 + 2r + 1

En el ejemplo anterior, r = 433 y el resto es 120. Como 120 es menor que 867, el resultado es posible. Además, la igualdad 18 769 = 4332 + 120 confirma el cálculo.

Errores frecuentes

• Confundir el resto con los decimales: el resto pertenece al procedimiento de la raíz entera; no es la parte decimal de una aproximación.
• Elegir un número cuyo cuadrado sea demasiado grande: siempre hay que escoger el mayor cuadrado que no supere al radicando o al número parcial obtenido.
• Olvidar duplicar la raíz parcial: en el algoritmo tradicional, el resultado que ya hemos obtenido se multiplica por 2 antes de buscar la cifra siguiente.
• Agrupar las cifras desde la izquierda: los pares deben formarse empezando por la derecha.
• No comprobar el resultado: es recomendable verificar que radicando = parte entera2 + resto y que el resto es menor que 2r + 1.

Una raíz cuadrada exacta produce un número entero sin resto. Una raíz cuadrada inexacta o entera no tiene un resultado entero exacto, pero permite hallar la mayor parte entera posible y la cantidad que queda pendiente. La idea fundamental es localizar los cuadrados perfectos que rodean al radicando y elegir siempre el menor de los dos que no lo supera.