Cómo sacar el máximo común divisor paso a paso

El máximo común divisor, conocido como m.c.d., es el número entero positivo más grande que puede dividir exactamente a dos o más números. Para calcularlo existen varios procedimientos, pero uno de los más claros cuando se está aprendiendo consiste en descomponer los números en factores primos.

La idea principal es buscar los factores que aparecen en todas las descomposiciones y multiplicarlos tomando, en cada caso, el exponente más pequeño. Antes de aplicar este método conviene repasar qué significa que un número sea divisor de otro.

Resumen

El máximo común divisor (m.c.d.) es el mayor divisor positivo compartido por dos o más números. Para calcularlo mediante factores primos, se descompone cada número, se conservan únicamente los factores presentes en todos y se escoge el menor exponente de cada uno; después se multiplican. Si no hay factores primos comunes, el m.c.d. es 1 y los números son coprimos. El método también sirve para tres o más números y para simplificar fracciones.

Qué son los divisores de un número

Un divisor de un número es otro número que lo divide de manera exacta, es decir, sin dejar resto. Por ejemplo, 15 puede dividirse exactamente entre 1, 3, 5 y 15. Por tanto, sus divisores positivos son:

D(15) = {1, 3, 5, 15}

Los divisores suelen expresarse con números positivos en los ejercicios escolares. Si se trabaja con todos los números enteros, también deben incluirse sus opuestos: -1, -3, -5 y -15. En ese caso, el conjunto completo sería D(15) = {±1, ±3, ±5, ±15}. El símbolo ± indica que se consideran tanto el valor positivo como el negativo.

Los divisores aparecen formando parejas. En el caso de 28, por ejemplo, 1 y 28 forman una pareja, igual que 2 y 14 o 4 y 7. Todas esas parejas producen el número 28 al multiplicar sus miembros.

Qué es el máximo común divisor

Cuando tenemos varios números, algunos de sus divisores pueden coincidir. El máximo común divisor es el mayor de esos divisores compartidos.

Por ejemplo, los divisores positivos de 18 son 1, 2, 3, 6, 9 y 18, mientras que los de 30 son 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30. Los divisores comunes son 1, 2, 3 y 6. Como 6 es el mayor, se cumple que:

m.c.d. (18, 30) = 6

El m.c.d. puede calcularse entre dos o más números. Una de sus aplicaciones más habituales es simplificar fracciones: si el numerador y el denominador tienen un divisor común, se pueden dividir ambos entre ese número sin cambiar el valor de la fracción.

Cómo sacar el máximo común divisor mediante factores primos

Para utilizar este procedimiento, sigue estos pasos:

1. Descompón cada número en factores primos. Esto significa expresarlo como una multiplicación de números primos.
2. Localiza los factores que aparecen en todas las descomposiciones. Solo se tienen en cuenta los factores comunes a todos los números.
3. Escoge el exponente menor de cada factor común. Si un factor aparece con distintas potencias, se utiliza la de menor exponente.
4. Multiplica los factores elegidos. El resultado es el máximo común divisor.

Ejemplo paso a paso

Vamos a calcular el m.c.d. de 84 y 126.

1. Descomponemos los dos números en factores primos:
   84 = 2^2 × 3 × 7
   126 = 2 × 3^2 × 7
2. Comparamos ambas descomposiciones. Los factores comunes son 2, 3 y 7.
3. En el caso del 2, los exponentes son 2 y 1; elegimos 2^1. Para el 3, los exponentes son 1 y 2; elegimos 3^1. El 7 aparece una vez en cada número.
4. Multiplicamos los factores seleccionados:
   m.c.d. (84, 126) = 2 × 3 × 7 = 42

Por tanto, 42 es el mayor número que divide exactamente tanto a 84 como a 126.

Qué ocurre cuando no hay factores primos comunes

Puede suceder que dos números no compartan ningún factor primo. En ese caso, siempre tienen como divisor común el 1, porque cualquier número entero es divisible entre 1. Por eso, el máximo común divisor no deja de existir: su valor es 1.

Dos números cuyo máximo común divisor es 1 reciben el nombre de números primos entre sí o coprimos. No es necesario que ambos sean números primos. Por ejemplo, 14 y 25 son números compuestos, pero sus descomposiciones son:

14 = 2 × 7
25 = 5^2

No tienen ningún factor primo en común, así que:

m.c.d. (14, 25) = 1

Decir que son coprimos no significa que el m.c.d. no exista. Significa que el único divisor positivo que comparten es el 1.

Cómo calcular el m.c.d. de tres o más números

El mismo procedimiento se aplica cuando intervienen más de dos cantidades. Hay que descomponer todos los números, conservar únicamente los factores que estén presentes en todos ellos y escoger el menor exponente.

Calculemos, por ejemplo, el m.c.d. de 60, 90 y 150:

60 = 2^2 × 3 × 5
90 = 2 × 3^2 × 5
150 = 2 × 3 × 5^2

Los factores comunes a las tres descomposiciones son 2, 3 y 5. Sus exponentes menores son 1, 1 y 1, respectivamente. Por tanto:

m.c.d. (60, 90, 150) = 2 × 3 × 5 = 30

Una forma de comprobar el resultado es dividir cada número entre 30. Las divisiones son exactas y no existe un divisor común mayor que 30.

Errores frecuentes al hallar el máximo común divisor

• Escoger factores que no aparecen en todos los números. Un factor que solo está en dos de las tres descomposiciones no puede formar parte del m.c.d. de los tres números.
• Elegir el exponente mayor. Para el máximo común divisor siempre se toma el exponente menor. El exponente mayor se utiliza en otro concepto: el mínimo común múltiplo.
• Confundir el m.c.d. con un divisor cualquiera. El resultado debe ser común a todos los números y, además, el mayor posible.
• Decir que el m.c.d. no existe cuando vale 1. El número 1 es un divisor común, así que en ese caso el m.c.d. es 1.

Ejercicios para practicar

Resuelve estos ejercicios descomponiendo cada número en factores primos y aplicando la regla de los factores comunes con menor exponente:

1. Calcula el m.c.d. de 45 y 75.
2. Calcula el m.c.d. de 72, 108 y 180.
3. Calcula el m.c.d. de 32 y 45.
4. Calcula el m.c.d. de 96 y 144.

Soluciones

1. m.c.d. (45, 75) = 15.
2. m.c.d. (72, 108, 180) = 36.
3. m.c.d. (32, 45) = 1; son números coprimos.
4. m.c.d. (96, 144) = 48.

Para comprobar cualquier respuesta, divide todos los números del ejercicio entre el resultado obtenido. Si las divisiones son exactas y no existe un divisor común mayor, el cálculo es correcto.