Cómo sacar el mínimo común múltiplo paso a paso

El mínimo común múltiplo, que suele abreviarse como m.c.m., es el menor número natural distinto de cero que es múltiplo de dos o más números al mismo tiempo. Para calcularlo de forma rápida y ordenada, normalmente se descomponen los números en factores primos y se eligen todos los factores necesarios con el exponente más alto.

Antes de aplicar este procedimiento conviene entender qué significa que un número sea múltiplo de otro y por qué pueden aparecer múltiplos comunes.

Resumen

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) es el menor número natural distinto de cero que resulta múltiplo de dos o más números. Los múltiplos se obtienen al multiplicar una cantidad por números naturales, y los múltiplos comunes coinciden entre varias cantidades. Para calcularlo, se descompone cada número en factores primos, se conserva cada factor con el exponente más alto y se multiplican. El método sirve también para tres o más números. Hay que incluir factores exclusivos y no confundir múltiplos con divisores.

Qué son los múltiplos

Los múltiplos de un número se obtienen al multiplicarlo por los números naturales. Por ejemplo, para encontrar algunos múltiplos de 6 podemos realizar estas operaciones:

• 6 × 1 = 6
• 6 × 2 = 12
• 6 × 3 = 18
• 6 × 4 = 24
• 6 × 5 = 30

Por tanto, 6, 12, 18, 24 y 30 son múltiplos de 6. También lo son 36, 42, 48 y todos los números que puedan expresarse como el resultado de multiplicar 6 por un número natural.

Un número puede tener infinitos múltiplos, porque siempre es posible continuar la sucesión. Además, un mismo número puede ser múltiplo de varios números diferentes. Por ejemplo, 24 es múltiplo de 6 porque 6 × 4 = 24, y también es múltiplo de 8 porque 8 × 3 = 24.

Qué es el mínimo común múltiplo

Cuando se comparan los múltiplos de dos o más números, algunos pueden coincidir. Esos valores reciben el nombre de múltiplos comunes. El menor de ellos, sin contar el cero, es el mínimo común múltiplo.

Observemos los primeros múltiplos de 4 y de 9:

• Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36...
• Múltiplos de 9: 9, 18, 27, 36, 45, 54...

El primer número que aparece en las dos listas es 36. Por eso, m.c.m. (4, 9) = 36. Si continuáramos las listas, encontraríamos otros múltiplos comunes, como 72 o 108, pero ninguno sería menor que 36.

La búsqueda mediante listas resulta útil cuando los números son pequeños. Sin embargo, si las cantidades son grandes o intervienen varios números, es más práctico utilizar la descomposición en factores primos.

Cómo sacar el mínimo común múltiplo mediante factores primos

El método puede resumirse en tres pasos:

1. Descomponer cada número en factores primos. Hay que expresar cada cantidad como un producto de números primos.
2. Reunir todos los factores primos que aparecen. Si un factor se repite en varias descomposiciones, se conserva la potencia mayor.
3. Multiplicar los factores elegidos. El resultado es el mínimo común múltiplo.

Un número primo solo tiene como divisores exactos el 1 y él mismo. Algunos ejemplos son 2, 3, 5, 7 y 11. En una descomposición, las repeticiones suelen escribirse como potencias: 2 × 2 × 2 puede expresarse como 23. Como la etiqueta no está disponible, también puede escribirse de manera desarrollada: 2 × 2 × 2.

Ejemplo 1: m.c.m. de 24 y 30

Primero descomponemos los dos números:

• 24 = 2 × 2 × 2 × 3
• 30 = 2 × 3 × 5

Los factores primos que aparecen son 2, 3 y 5. Para el 2 escogemos tres repeticiones, porque aparece tres veces en 24 y solo una vez en 30. Para el 3 basta una repetición, y debemos incluir también el 5, que únicamente aparece en 30.

Por tanto:

m.c.m. (24, 30) = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 120

Podemos comprobarlo: 120 ÷ 24 = 5 y 120 ÷ 30 = 4. Como 120 es divisible entre ambos y se ha construido tomando los factores necesarios, es su mínimo común múltiplo.

Ejemplo 2: m.c.m. de 28 y 42

Descomponemos cada cantidad en factores primos:

• 28 = 2 × 2 × 7
• 42 = 2 × 3 × 7

El factor 2 aparece dos veces en la primera descomposición, así que conservamos dos doses. El 3 solo aparece en 42 y el 7 aparece en ambas expresiones una sola vez. De este modo:

m.c.m. (28, 42) = 2 × 2 × 3 × 7 = 84

La comprobación confirma el resultado: 84 es divisible entre 28 y entre 42. No debemos multiplicar dos veces el 7 por el hecho de que aparezca en ambos números; basta con incluirlo con el exponente más alto.

Cómo calcular el m.c.m. de tres números

El procedimiento es el mismo, aunque hay que comparar las descomposiciones de las tres cantidades. Por ejemplo, calculemos el m.c.m. de 12, 18 y 45:

• 12 = 2 × 2 × 3
• 18 = 2 × 3 × 3
• 45 = 3 × 3 × 5

El factor 2 aparece como máximo dos veces, en 12. El factor 3 aparece como máximo dos veces, en 18 y en 45. El factor 5 aparece una vez, en 45. Por eso:

m.c.m. (12, 18, 45) = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 180

Este resultado es divisible entre los tres números: 180 ÷ 12 = 15, 180 ÷ 18 = 10 y 180 ÷ 45 = 4.

Errores frecuentes al sacar el mínimo común múltiplo

• Confundir múltiplo con divisor. Si 8 × 3 = 24, 24 es múltiplo de 8; en cambio, 8 es divisor de 24.
• Escoger siempre los factores que se repiten. También hay que incluir los factores que aparecen en un solo número.
• Repetir un factor más veces de las necesarias. Cuando un primo aparece en varias descomposiciones, se utiliza una sola vez con su mayor exponente.
• Elegir cualquier múltiplo común. El m.c.m. es el más pequeño de todos los múltiplos comunes positivos.

Ejercicios para practicar

Calcula los siguientes mínimos comunes múltiplos mediante la descomposición en factores primos:

1. m.c.m. (8, 20)
2. m.c.m. (14, 30)
3. m.c.m. (16, 24, 36)

Soluciones

1. 40
2. 210
3. 144

Para revisar cada respuesta, descompón de nuevo los números, selecciona cada factor primo con el mayor número de repeticiones y comprueba después que el resultado es divisible entre todas las cantidades del ejercicio.