Cuáles son los criterios de divisibilidad: reglas del 2 al 10

Los criterios de divisibilidad son reglas que permiten comprobar rápidamente si un número puede dividirse entre otro sin necesidad de realizar toda la división. Cuando una división es exacta, el resto es cero; por eso decimos que el primer número es divisible por el segundo.

Estas reglas resultan especialmente útiles cuando trabajamos con cantidades grandes. En lugar de buscar un múltiplo mediante una tabla o efectuar una división larga, basta con observar algunas cifras o realizar una operación sencilla. Los criterios más habituales son los correspondientes a los números del 2 al 10.

Resumen

Los criterios de divisibilidad permiten saber si una división es exacta, es decir, si el resto es cero, sin realizarla completa. Por 2, la última cifra es par; por 3 y 9, la suma de cifras es múltiplo de 3 o 9; por 4 y 8, se observan las dos o tres últimas cifras. Por 5, termina en 0 o 5; por 10, en 0; por 6, cumple los criterios del 2 y el 3; y por 7, se resta el doble de la última cifra al número restante.

Qué significa que un número sea divisible

Un número es divisible por otro cuando al dividirlo entre ese número se obtiene un resultado entero y el resto es cero. Por ejemplo, 45 es divisible por 5 porque 45 : 5 = 9. En cambio, 46 no es divisible por 5, ya que al hacer 46 : 5 queda resto 1.

También podemos decir que el divisor es un factor del número y que el número divisible es un múltiplo de ese divisor. Así, 9 es divisor de 72 porque 72 = 9 × 8, y 72 es múltiplo de 9.

Los múltiplos de una cantidad se obtienen al multiplicarla por números naturales. Por ejemplo, algunos múltiplos de 6 son 6, 12, 18, 24 y 30. Los divisores son los números que pueden dividir una cantidad exactamente. Esta relación es importante para descomponer números en factores primos, encontrar divisores, simplificar fracciones y reconocer si un número es primo o compuesto.

Una comprobación sencilla

Si queremos saber si 7 divide exactamente a 91, podemos observar que 7 × 13 = 91. Por tanto, 91 es divisible por 7. Sin embargo, para números con muchas cifras resulta más práctico aplicar una regla específica. Por ejemplo, para estudiar si 7 divide a 203, podemos utilizar el criterio del 7 en lugar de probar muchos productos.

Cuáles son los criterios de divisibilidad

• Criterio de divisibilidad por 2: un número es divisible por 2 si su última cifra es par: 0, 2, 4, 6 u 8. Por ejemplo, 572 termina en 2, así que es divisible por 2. En efecto, 572 : 2 = 286.
• Criterio de divisibilidad por 3: hay que sumar todas las cifras del número. Si la suma es múltiplo de 3, el número también es divisible por 3. Por ejemplo, en 312 la suma es 3 + 1 + 2 = 6; como 6 es múltiplo de 3, 312 es divisible por 3.
• Criterio de divisibilidad por 4: se observan las dos últimas cifras. Si el número formado por ellas es divisible por 4, todo el número lo es. Por ejemplo, 1.236 es divisible por 4 porque sus dos últimas cifras forman 36, y 36 : 4 = 9. Las cifras que quedan a la izquierda no cambian esta comprobación.
• Criterio de divisibilidad por 5: la última cifra debe ser 0 o 5. Por ejemplo, 6.415 es divisible por 5 porque termina en 5. En cambio, 6.412 no cumple esta condición.
• Criterio de divisibilidad por 6: el número debe cumplir a la vez los criterios del 2 y del 3. Esto se debe a que 6 es el producto de 2 y 3, que no tienen factores comunes distintos de 1. Por ejemplo, 246 es par y, además, 2 + 4 + 6 = 12, que es múltiplo de 3. Por tanto, 246 es divisible por 6.
• Criterio de divisibilidad por 7: se separa la última cifra, se multiplica por 2 y se resta ese resultado al número formado por las cifras restantes. Si el resultado es 0 o un múltiplo de 7, el número inicial es divisible por 7. La operación puede repetirse si el resultado sigue siendo grande. Por ejemplo, para 203: 20 − (3 × 2) = 20 − 6 = 14. Como 14 es múltiplo de 7, 203 es divisible por 7.
• Criterio de divisibilidad por 8: se miran las tres últimas cifras. Si forman un múltiplo de 8, el número completo es divisible por 8. Por ejemplo, 4.216 es divisible por 8 porque 216 : 8 = 27. En números de menos de tres cifras se analiza el número entero.
• Criterio de divisibilidad por 9: se suman sus cifras y se comprueba si el resultado es múltiplo de 9. Por ejemplo, 4.563 tiene una suma de cifras igual a 4 + 5 + 6 + 3 = 18. Como 18 es múltiplo de 9, 4.563 es divisible por 9.
• Criterio de divisibilidad por 10: la última cifra debe ser 0. Por ejemplo, 3.270 es divisible por 10, mientras que 3.275 no lo es. Al dividir 3.270 entre 10 se obtiene 327.

Cómo aplicar los criterios paso a paso

1. Identifica el divisor. Primero debes saber entre qué número quieres comprobar la divisibilidad.
2. Escoge la regla adecuada. Algunos criterios se fijan en la última cifra; otros requieren sumar cifras o examinar las últimas dos o tres.
3. Realiza la comprobación. Sigue exactamente la operación indicada por el criterio.
4. Interpreta el resultado. Si se cumple la condición, la división es exacta. Si no se cumple, el número no es divisible por ese divisor.

Por ejemplo, para estudiar si 7.248 es divisible por 4, solo necesitamos mirar 48. Como 48 es divisible por 4, también lo es 7.248. Para comprobar la divisibilidad por 9, en cambio, debemos sumar todas las cifras: 7 + 2 + 4 + 8 = 21. Como 21 no es múltiplo de 9, 7.248 no es divisible por 9.

Ejemplos combinados

Un mismo número puede cumplir varios criterios al mismo tiempo. Consideremos el número 540:

• Es divisible por 2 porque termina en 0, una cifra par.
• Es divisible por 3 porque 5 + 4 + 0 = 9.
• Es divisible por 5 porque termina en 0.
• Es divisible por 6 porque cumple los criterios del 2 y del 3.
• Es divisible por 9 porque la suma de sus cifras es 9.
• Es divisible por 10 porque termina en 0.

En cambio, no podemos afirmar que sea divisible por 4 solo porque sea par: para aplicar ese criterio debemos examinar sus dos últimas cifras. En este caso, 40 sí es múltiplo de 4, así que 540 también es divisible por 4. Tampoco basta con que un número termine en una cifra determinada para aplicar todos los criterios; cada divisor tiene su propia regla.

Errores frecuentes al utilizar estas reglas

• Confundir divisible con múltiplo: si 8 divide a 56, decimos que 56 es divisible por 8 y que 56 es múltiplo de 8. No significan exactamente lo mismo desde el punto de vista de la frase, aunque describen la misma relación.
• Mirar solo la última cifra para el 3 o el 9: en estos casos hay que sumar todas las cifras del número.
• Usar demasiadas cifras en el criterio del 4: solo se necesitan las dos últimas. Para el 8 se necesitan las tres últimas.
• Creer que todos los números pares son divisibles por 6: ser par garantiza la divisibilidad por 2, pero también hace falta que la suma de las cifras sea múltiplo de 3.
• Olvidar que el resto debe ser cero: si la división deja cualquier resto distinto de cero, no es una división exacta.

Para qué sirven los criterios de divisibilidad

Estas reglas no sustituyen a la división en todos los casos, pero permiten comprobar muchas situaciones con rapidez. Ayudan a localizar divisores de un número, decidir si una fracción puede simplificarse, detectar factores antes de descomponer una cantidad y distinguir algunos números primos de los compuestos.

Por ejemplo, si una fracción tiene un numerador terminado en 0 y un denominador igual a 10, podemos saber inmediatamente que el numerador es divisible por el denominador. Del mismo modo, antes de intentar una descomposición en factores, los criterios permiten descartar rápidamente algunos divisores y concentrarse en los que sí pueden funcionar.

La idea fundamental es sencilla: cada divisor tiene una condición concreta. Al reconocerla y aplicarla con cuidado, podemos saber si una división será exacta sin efectuarla completa.