Ejercicios de divisibilidad resueltos

La divisibilidad permite saber si una división entre números enteros es exacta, es decir, si el resto que queda al dividir es igual a cero. En este artículo aprenderás a reconocer cuándo un número es divisible por otro, a aplicar los principales criterios de divisibilidad y a resolver ejercicios paso a paso.

Resumen

La divisibilidad permite determinar si una división entre enteros es exacta, es decir, si el resto es cero. Un número es divisible por otro cuando produce un cociente entero; el primero es múltiplo y el segundo, divisor. Los criterios de divisibilidad permiten comprobarlo sin efectuar la división: dependen de la última cifra, la suma de cifras o las dos o tres últimas cifras. Destacan los criterios para 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10. Los ejercicios se resuelven aplicándolos ordenadamente y justificando el resultado.

¿Qué significa que un número sea divisible?

Un número entero es divisible por otro cuando, al realizar la división, se obtiene un cociente entero y no queda resto. Por ejemplo, 24 es divisible por 6 porque 24 : 6 = 4. En cambio, 25 no es divisible por 6, ya que la división no es exacta.

También podemos expresarlo de varias formas:

• 6 es un divisor de 24.
• 24 es un múltiplo de 6.
• 24 se puede repartir en 6 grupos iguales de 4 elementos.

En una relación de divisibilidad intervienen números enteros. Todo número entero es divisible por 1 y por sí mismo. Además, si un número es divisible por otro, el resto de la división entre ambos es cero.

Algunos ejemplos de divisores

Para encontrar los divisores de un número, buscamos las parejas de factores cuyo producto sea ese número.

• Los divisores de 18 son 1, 2, 3, 6, 9 y 18.
• Los divisores de 28 son 1, 2, 4, 7, 14 y 28.
• Los divisores de 17 son únicamente 1 y 17, porque 17 es un número primo.
• Los divisores de 40 son 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 y 40.

¿Cómo se resuelven los ejercicios de divisibilidad?

La forma más rápida de resolver muchos ejercicios consiste en utilizar los criterios de divisibilidad. Estas reglas permiten comprobar si una división es exacta sin tener que hacerla completa.

• Divisibilidad por 2: el número termina en 0, 2, 4, 6 u 8.
• Divisibilidad por 3: la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
• Divisibilidad por 4: las dos últimas cifras forman un número divisible por 4, incluidos 00, 04, 08, 12, 16, etc.
• Divisibilidad por 5: termina en 0 o en 5.
• Divisibilidad por 6: cumple a la vez los criterios del 2 y del 3.
• Divisibilidad por 7: se separa la cifra de las unidades, se duplica y se resta ese resultado al número formado por las cifras restantes. Si la diferencia es 0 o un múltiplo de 7, el número inicial es divisible por 7. El procedimiento puede repetirse si la diferencia todavía es grande.
• Divisibilidad por 8: las tres últimas cifras forman un número divisible por 8. Si el número tiene menos de tres cifras, se comprueba el número completo.
• Divisibilidad por 9: la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
• Divisibilidad por 10: termina en 0.

Aplicación de los criterios

¿Es 238 divisible por 2?

Su última cifra es 8, que es par. Por tanto, 238 sí es divisible por 2.

¿Es 372 divisible por 3?

Sumamos sus cifras: 3 + 7 + 2 = 12. Como 12 es múltiplo de 3, 372 es divisible por 3.

¿Es 516 divisible por 4?

Solo tenemos que observar las dos últimas cifras: 16. Como 16 se puede dividir exactamente entre 4, 516 es divisible por 4.

¿Es 735 divisible por 5?

Termina en 5, así que cumple el criterio de divisibilidad por 5.

¿Es 246 divisible por 6?

Termina en una cifra par, por lo que es divisible por 2. Además, 2 + 4 + 6 = 12, que es múltiplo de 3. Al cumplir ambos criterios, 246 es divisible por 6.

¿Es 203 divisible por 7?

Separamos la unidad, 3, y la multiplicamos por 2: 3 × 2 = 6. Después restamos 6 al número restante: 20 − 6 = 14. Como 14 es múltiplo de 7, podemos concluir que 203 es divisible por 7.

¿Es 1.224 divisible por 8?

Observamos sus tres últimas cifras: 224. Como 224 : 8 = 28, la división es exacta y, por tanto, 1.224 es divisible por 8.

¿Es 4.563 divisible por 9?

La suma de sus cifras es 4 + 5 + 6 + 3 = 18. Como 18 es múltiplo de 9, el número sí es divisible por 9.

¿Es 2.470 divisible por 10?

Sí, porque su última cifra es 0.

Ejercicios de divisibilidad con soluciones

Resuelve estos ejercicios aplicando los criterios anteriores. En cada caso, indica todos los números de la lista por los que es divisible el número propuesto.

1. ¿Por cuáles de estos números es divisible 120?
   2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 y 10.
2. ¿Por cuáles de estos números es divisible 252?
   2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
3. ¿Por cuáles de estos números es divisible 175?
   2, 3, 5, 7, 9 y 10.
4. ¿Por cuáles de estos números es divisible 432?
   2, 3, 4, 6, 8, 9 y 10.

Soluciones explicadas

• 120: es divisible por 2 porque termina en cifra par; por 3 porque 1 + 2 + 0 = 3; por 4 porque sus dos últimas cifras son 20; por 5 y por 10 porque termina en 0; por 6 porque cumple los criterios del 2 y del 3; y por 8 porque 120 : 8 = 15. No es divisible por 9, ya que la suma de sus cifras es 3 y no es múltiplo de 9.
• 252: es divisible por 2 porque termina en 2. La suma de sus cifras es 2 + 5 + 2 = 9, así que también es divisible por 3 y por 9. Sus dos últimas cifras, 52, forman un múltiplo de 4, por lo que es divisible por 4. Como cumple los criterios del 2 y del 3, también lo es por 6. Sus tres últimas cifras son 252, y 252 : 8 no es exacta, así que no es divisible por 8. Tampoco es divisible por 5. Para comprobar el 7: 25 − 2 × 2 = 21; como 21 es múltiplo de 7, sí es divisible por 7.
• 175: no es divisible por 2 porque termina en 5. Sí es divisible por 5 porque termina en 5 y por 7, ya que 17 − 2 × 5 = 7. La suma de sus cifras es 1 + 7 + 5 = 13, por lo que no es divisible por 3 ni por 9. Tampoco es divisible por 10.
• 432: es divisible por 2 porque termina en 2. La suma de sus cifras es 4 + 3 + 2 = 9, de modo que es divisible por 3 y por 9. Las dos últimas cifras son 32, múltiplo de 4, y las tres últimas forman 432, que es divisible por 8. Al ser divisible por 2 y por 3, también es divisible por 6. No es divisible por 10 porque no termina en cero.

Un buen procedimiento consiste en observar primero la última cifra, después sumar las cifras cuando sea necesario y, finalmente, revisar las dos o tres últimas cifras para los criterios del 4 y del 8. Así se puede resolver cada ejercicio de forma ordenada y justificar por qué la división es exacta o no.