Números complejos con ejemplos y ejercicios

Los números complejos amplían el conjunto de los números reales y permiten resolver operaciones que no tienen solución dentro de ese conjunto. Para entenderlos, primero hay que distinguir entre la parte real y la parte imaginaria de un número. Después veremos cómo se escriben, analizaremos varios ejemplos y practicaremos con algunos ejercicios.

Resumen

Los números complejos amplían los reales para resolver expresiones como √-1. Se basan en la unidad imaginaria i, definida por i² = -1, y se escriben como z = a + bi, donde a es la parte real y b el coeficiente imaginario. Todo número real es complejo cuando su coeficiente imaginario es cero. Para identificar sus componentes, se separa el término sin i del número que multiplica a i, teniendo en cuenta su signo.

Qué son los números reales

Los números reales son todos los que pueden situarse en una recta numérica. Incluyen los números naturales, los enteros, los racionales y los irracionales.

• Naturales: 0, 1, 2, 3...
• Enteros: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...
• Racionales: pueden expresarse como una fracción, por ejemplo, 5/8 o -11/3.
• Irracionales: no pueden escribirse como una fracción exacta, como √2 o π.

Una característica importante de los números reales es que el cuadrado de cualquiera de ellos nunca es negativo. Por ejemplo, 4² = 16 y (-4)² = 16. Por eso, dentro de los números reales no existe ningún número cuyo cuadrado sea -1.

Qué son los números complejos

Los números complejos se introducen para trabajar con expresiones como √-1. Se define la unidad imaginaria mediante la letra i:

i² = -1

Por tanto, puede escribirse que i = √-1, aunque esta igualdad debe entenderse dentro del conjunto de los números complejos, no dentro de los reales.

La forma general de un número complejo es:

z = a + bi

• a es la parte real.
• b es el coeficiente de la parte imaginaria.
• bi es la parte imaginaria completa.
• Tanto a como b son números reales.

Por ejemplo, en z = -6 + 9i, la parte real es -6 y el coeficiente imaginario es 9. Cuando se pregunta por la parte imaginaria, normalmente se responde 9; la expresión imaginaria completa es 9i.

Relación entre números reales y complejos

Todo número real puede considerarse también un número complejo cuya parte imaginaria es cero. Así, 13 puede escribirse como 13 + 0i. Del mismo modo, -2 equivale a -2 + 0i.

Sin embargo, no todos los números complejos son reales. Si el coeficiente de i no es cero, aparece una parte imaginaria. Por ejemplo, 4 - 7i no puede situarse únicamente en la recta numérica real.

Ejemplos de números complejos

Ejemplo 1

• Número complejo: -3 + 11i
• Parte real: -3
• Coeficiente de la parte imaginaria: 11
• Parte imaginaria: 11i

Ejemplo 2

• Número complejo: 14 - 5i
• Parte real: 14
• Coeficiente de la parte imaginaria: -5
• Parte imaginaria: -5i

Ejemplo 3

• Número complejo: 7i
• Parte real: 0
• Coeficiente de la parte imaginaria: 7

En este último caso no aparece escrito el término real porque es 0. En realidad, 7i equivale a 0 + 7i.

Ejemplo 4

• Número complejo: -9
• Parte real: -9
• Coeficiente de la parte imaginaria: 0

Este número es real y también complejo, ya que puede expresarse como -9 + 0i.

Cómo identificar las partes de un número complejo

Para separar sus componentes, conviene buscar primero el término que no contiene la letra i. Ese es el término real. El número que multiplica a i es el coeficiente imaginario.

Por ejemplo, en 2 - 13i, el término real es 2 y el coeficiente imaginario es -13. El signo negativo pertenece al coeficiente, por lo que no debe ignorarse. Si solo aparece i, su coeficiente es 1; si aparece -i, su coeficiente es -1.

Ejercicios de números complejos

Resuelve estas actividades antes de consultar las soluciones. En los ejercicios de creación, puede haber varias respuestas válidas.

Ejercicio 1

• A) Escribe un número complejo con parte real negativa y coeficiente imaginario positivo.
• B) Escribe un número complejo con parte real positiva y coeficiente imaginario negativo.
• C) Escribe un número complejo que sea un número real.
• D) Escribe un número complejo cuya parte real sea cero y cuyo coeficiente imaginario sea negativo.

Ejercicio 2

• A) Indica la parte real y el coeficiente imaginario de 18 - 4i.
• B) Indica la parte real y el coeficiente imaginario de -6 + 15i.
• C) Indica la parte real y el coeficiente imaginario de -10i.
• D) Indica la parte real y el coeficiente imaginario de 21.

Ejercicio 3

Decide si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

• A) El número 5 puede considerarse un número complejo.
• B) En el número 3 - 8i, la parte imaginaria es 8.
• C) El cuadrado de la unidad imaginaria es -1.
• D) Un número complejo siempre tiene una parte imaginaria distinta de cero.

Soluciones de los ejercicios

Solución del ejercicio 1

• A) Una respuesta posible es -12 + 4i.
• B) Una respuesta posible es 9 - 2i.
• C) Una respuesta posible es 16 + 0i, que normalmente se escribe simplemente 16.
• D) Una respuesta posible es -7i, equivalente a 0 - 7i.

Solución del ejercicio 2

• A) En 18 - 4i, la parte real es 18 y el coeficiente imaginario es -4.
• B) En -6 + 15i, la parte real es -6 y el coeficiente imaginario es 15.
• C) En -10i, la parte real es 0 y el coeficiente imaginario es -10.
• D) En 21, la parte real es 21 y el coeficiente imaginario es 0.

Solución del ejercicio 3

• A) Verdadera. Puede escribirse como 5 + 0i.
• B) Falsa. El coeficiente imaginario es -8 y la parte imaginaria completa es -8i.
• C) Verdadera. Esa es precisamente la propiedad que define a i.
• D) Falsa. Los números reales son complejos con coeficiente imaginario igual a cero.