Números primos y compuestos: explicación y ejercicios

Los números primos y compuestos forman parte de los conceptos básicos de la aritmética. Aprender a distinguirlos ayuda a entender la divisibilidad, la descomposición en factores y muchas operaciones posteriores. En esta explicación encontrarás sus definiciones, el caso especial del número 1, un procedimiento para reconocer números primos y varias actividades con soluciones.

Resumen

Los números primos son naturales mayores que 1 con exactamente dos divisores: 1 y ellos mismos. Los compuestos tienen más de dos divisores; el 2 es el único primo par. El 1 no pertenece a ninguno de los dos grupos porque solo tiene un divisor. Para comprobar si un número es primo, se buscan divisores primos hasta su raíz cuadrada. Las reglas de divisibilidad entre 2, 3, 5 y 10 facilitan la clasificación y la resolución de ejercicios.

Qué son los números primos

Un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene exactamente dos divisores positivos: el 1 y el propio número. Un divisor es un número que puede dividir a otro de manera exacta, sin dejar resto.

Por ejemplo, los divisores positivos de 13 son 1 y 13. Como no existe ningún otro número natural que lo divida exactamente, 13 es primo. También son primos 2, 3, 5, 7, 11, 17, 19, 23 y 29, entre otros.

El 2 merece una mención especial: es el único número primo par. Cualquier otro número par mayor que 2 puede dividirse entre 2, por lo que tiene al menos tres divisores positivos y es compuesto. Además, existen infinitos números primos; no hay un último número primo.

Qué son los números compuestos

Un número compuesto es un número natural mayor que 1 que tiene más de dos divisores positivos. Es decir, puede dividirse exactamente entre 1, entre él mismo y, al menos, entre otro número.

Por ejemplo, 18 es compuesto porque sus divisores positivos son 1, 2, 3, 6, 9 y 18. También podemos comprobarlo mediante una multiplicación: 18 = 3 × 6. Cuando un número puede expresarse como el producto de dos números naturales distintos de 1, sabemos que es compuesto.

Otros ejemplos son 4, 9, 15, 21, 25 y 36. Conviene recordar que «compuesto» no significa simplemente «par»: 15 y 25 son impares, pero son compuestos porque tienen divisores adicionales.

El caso especial del número 1

El 1 no es primo ni compuesto. Solo tiene un divisor positivo, el propio 1. Por eso no cumple la condición de los números primos, que deben tener exactamente dos divisores, ni la de los números compuestos, que deben tener más de dos.

El 1 se considera una unidad. Además, al multiplicar cualquier número por 1, el resultado no cambia. Esta característica es importante cuando se escribe la descomposición de un número en factores primos: el 1 no se incluye como factor primo.

Cómo comprobar si un número es primo

Para averiguar si un número es primo, hay que buscar si tiene algún divisor distinto de 1 y de sí mismo. Si encontramos una división exacta, el número es compuesto. Si no aparece ningún divisor, será primo.

No es necesario probar todos los números menores que el valor estudiado. Basta con comprobar los números primos que no superen su raíz cuadrada. Si el número tuviera un divisor mayor que su raíz cuadrada, tendría otro divisor menor que ella.

Por ejemplo, para estudiar el número 113, calculamos que su raíz cuadrada está entre 10 y 11. Por tanto, comprobamos los primos 2, 3, 5 y 7:

• 113 no es divisible entre 2 porque es impar.
• La suma de sus cifras es 5, así que no es divisible entre 3.
• No termina en 0 ni en 5, por lo que no es divisible entre 5.
• 113 dividido entre 7 no da un resultado exacto.

Como no tiene divisores primos hasta 10, 113 es un número primo. Para números pequeños también pueden utilizarse reglas de divisibilidad:

• Un número es divisible entre 2 si termina en 0, 2, 4, 6 u 8.
• Es divisible entre 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
• Es divisible entre 5 si termina en 0 o en 5.
• Es divisible entre 10 si termina en 0.

Ejercicios de números primos y compuestos

Resuelve las actividades sin consultar las soluciones. En las comprobaciones, explica qué divisores has utilizado.

Ejercicio 1

• Escribe todos los números primos comprendidos entre 1 y 50.
• Indica cuáles de estos números son primos y cuáles son compuestos: 14, 31, 45, 53, 64, 71, 77, 83, 95 y 101.
• Escribe los números compuestos que hay entre 10 y 20.
• Explica por qué el 1 no pertenece a ninguno de los dos grupos.
• Decide si la afirmación es verdadera o falsa: «Si un número es impar, entonces siempre es primo».

Ejercicio 2

• Indica si cada afirmación es verdadera o falsa y justifica la respuesta.
• A) 2 es el único número primo par.
• B) 27 es un número primo.
• C) 49 es un número compuesto.
• D) El número 1 tiene exactamente dos divisores positivos.
• E) Todo número mayor que 1 que no sea primo es compuesto.

Ejercicio 3

• Comprueba si 137 es primo utilizando los divisores primos necesarios.
• Comprueba si 143 es primo o compuesto.
• Escribe una multiplicación de dos factores mayores que 1 para demostrar que 84 es compuesto.

Soluciones de los ejercicios

Soluciones del ejercicio 1

• Entre 1 y 50, los números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 y 47.
• 14 es compuesto; 31 es primo; 45 es compuesto; 53 es primo; 64 es compuesto; 71 es primo; 77 es compuesto; 83 es primo; 95 es compuesto; 101 es primo.
• Los números compuestos entre 10 y 20 son 10, 12, 14, 15, 16, 18 y 20.
• El 1 solo tiene un divisor positivo, por lo que no alcanza los dos divisores exigidos para ser primo ni supera esa cantidad para ser compuesto.
• La afirmación es falsa. Hay números impares compuestos, como 9, que puede dividirse entre 1, 3 y 9.

Soluciones del ejercicio 2

• A) Verdadera. El 2 es par y primo; todos los números pares mayores que 2 son divisibles entre 2.
• B) Falsa. 27 es compuesto porque 27 = 3 × 9.
• C) Verdadera. 49 = 7 × 7, así que tiene divisores distintos de 1 y de 49.
• D) Falsa. El 1 solo tiene un divisor positivo: 1.
• E) Verdadera para los números naturales mayores que 1: si no tienen exactamente dos divisores, poseen más de dos y son compuestos.

Soluciones del ejercicio 3

• Para 137 solo hay que comprobar los primos hasta su raíz cuadrada, que es menor que 12: 2, 3, 5, 7 y 11. Ninguno divide exactamente a 137, por lo que 137 es primo.
• 143 es compuesto porque 143 = 11 × 13. Por tanto, tiene divisores adicionales además de 1 y 143.
• Una posible demostración es 84 = 7 × 12. También puede escribirse como 84 = 2 × 42.

Una forma rápida de practicar

Cuando clasifiques varios números, empieza descartando los que terminan en cifra par o en 5, salvo el 2 y el 5. Después aplica la regla de la suma de cifras para comprobar la divisibilidad entre 3. En los casos que sigan sin estar claros, prueba con los números primos hasta llegar a la raíz cuadrada del número analizado.