Problemas resueltos de porcentajes: IVA, descuentos y ejercicios

Los porcentajes aparecen con frecuencia en situaciones cotidianas: calcular una rebaja, añadir el IVA a un precio, averiguar qué parte representa una cantidad o determinar cuántas personas pertenecen a un grupo. Para resolver estos problemas, lo más importante es identificar cuál es la cantidad total y qué porcentaje se aplica sobre ella.

Resumen

Para resolver problemas de porcentajes, hay que identificar el total, aplicar la fórmula cantidad × porcentaje ÷ 100 y decidir si el resultado se suma, se resta o se compara. Si se conoce la parte y el total, el porcentaje es parte ÷ total × 100. El IVA se añade a la base imponible; el descuento se resta del precio inicial. Conviene comprobar que el precio final aumenta con IVA y disminuye con una rebaja.

Cómo calcular un porcentaje

Para hallar un porcentaje de una cantidad, se multiplica la cantidad por el número del porcentaje y se divide el resultado entre 100:

Porcentaje de una cantidad = cantidad × porcentaje ÷ 100

Por ejemplo, para calcular el 35% de 240:

240 × 35 = 8400
8400 ÷ 100 = 84

Por tanto, el 35% de 240 es 84. Conviene leer con atención la pregunta: no es lo mismo averiguar cuántos elementos forman parte de un grupo que calcular cuántos quedan fuera de él.

Ejemplo de una cantidad que queda fuera del porcentaje

En una biblioteca hay 50 personas y el 28% está utilizando los ordenadores. Primero calculamos cuántas personas los utilizan:

50 × 28 ÷ 100 = 14

Si queremos saber cuántas personas no los están utilizando, restamos esa cantidad del total:

50 − 14 = 36

Así que hay 36 personas que no usan los ordenadores.

Problemas resueltos con porcentajes

Antes de hacer una operación, podemos seguir estos pasos:

1. Leer qué cantidad representa el 100%.
2. Localizar el porcentaje que debemos aplicar.
3. Calcular la parte correspondiente.
4. Decidir si esa parte debe sumarse, restarse o compararse con el total.

Veamos algunos casos distintos:

• En un equipo deportivo hay 24 jugadores y el 75% ha asistido al entrenamiento. ¿Cuántos jugadores han asistido?
• Una caja contiene 80 piezas, de las que el 15% son azules. ¿Cuántas piezas no son azules?
• En una encuesta, 42 de 120 personas eligen una determinada opción. ¿Qué porcentaje representan?

En el primer caso, calculamos 24 × 75 ÷ 100 = 18. Han asistido 18 jugadores. En el segundo, primero hallamos las piezas azules: 80 × 15 ÷ 100 = 12. Después restamos 80 − 12, de modo que hay 68 piezas que no son azules.

Cuando conocemos la parte y el total, el porcentaje se obtiene con esta operación:

Porcentaje = parte ÷ total × 100

Por eso, en el tercer caso hacemos 42 ÷ 120 × 100 = 35. La opción elegida representa el 35% de las respuestas.

Cómo resolver problemas de IVA

El IVA es un porcentaje que se añade a la base imponible, es decir, al precio antes de aplicar el impuesto. Para calcular el IVA de un producto, multiplicamos su precio por el tipo de IVA y dividimos entre 100. Después sumamos el impuesto al precio inicial.

Precio con IVA = precio inicial + (precio inicial × IVA ÷ 100)

Ejemplo de IVA

Una academia cobra 68 € por un curso antes de impuestos. Si se aplica un IVA del 21%, ¿cuál será el precio final?

Primero calculamos el importe del IVA:

68 × 21 ÷ 100 = 14,28 €

Este importe se suma al precio inicial:

68 + 14,28 = 82,28 €

El precio final del curso es de 82,28 €. También se puede hacer en un solo paso multiplicando por 1,21: 68 × 1,21 = 82,28. Esta forma representa el 100% del precio más el 21% del impuesto.

Cómo hacer problemas con descuentos

Un descuento reduce el precio original. Para resolverlo, calculamos qué cantidad representa el porcentaje de rebaja y la restamos del precio inicial.

Precio rebajado = precio inicial − (precio inicial × descuento ÷ 100)

Ejemplo de descuento

Una mochila cuesta 56 € y tiene una rebaja del 18%. ¿Cuál es su precio después del descuento?

Calculamos primero el valor de la rebaja:

56 × 18 ÷ 100 = 10,08 €

Restamos el descuento al precio original:

56 − 10,08 = 45,92 €

Por tanto, habrá que pagar 45,92 €. También se puede multiplicar directamente por 0,82, porque después de descontar el 18% queda el 82% del precio: 56 × 0,82 = 45,92.

Ejercicios de porcentajes resueltos

Intenta resolver estos ejercicios antes de consultar las soluciones. Recuerda indicar qué operación representa el porcentaje y comprobar si el resultado debe sumarse o restarse.

• Una entrada cuesta 24 € y se le aplica un IVA del 10%. ¿Cuál es el precio final?
• Un abrigo de 160 € tiene un descuento del 30%. ¿Cuánto se paga después de la rebaja?
• En un grupo de 45 estudiantes, 27 han entregado una actividad. ¿Qué porcentaje del grupo la ha entregado?
• Una granja tiene 120 animales y el 35% son ovejas. ¿Cuántos animales no son ovejas?

Soluciones

• El IVA es 24 × 10 ÷ 100 = 2,40 €. El precio final es 24 + 2,40 = 26,40 €.
• El descuento es 160 × 30 ÷ 100 = 48 €. El precio rebajado es 160 − 48 = 112 €.
• El porcentaje es 27 ÷ 45 × 100 = 60%.
• Las ovejas son 120 × 35 ÷ 100 = 42. Los animales que no son ovejas son 120 − 42 = 78.

Una comprobación útil consiste en revisar el sentido del resultado: con un IVA, el precio final debe ser mayor que el inicial; con un descuento, debe ser menor. Además, el porcentaje de una cantidad positiva no puede dar una parte negativa.