Propiedades de la resta: cuáles son y cómo se aplican

La resta es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética. Aunque se parece a la suma en algunos aspectos, no cumple exactamente las mismas propiedades. Para comprenderla bien, conviene identificar sus elementos, recordar cómo se calcula y analizar qué ocurre cuando cambiamos los números o la forma de realizar la operación.

Resumen

La resta consiste en quitar una cantidad de otra y utiliza minuendo, sustraendo y diferencia. En números de varias cifras, se alinean las posiciones y se calcula de derecha a izquierda, descomponiendo cuando es necesario. No es conmutativa ni asociativa: cambiar el orden o la agrupación modifica el resultado. Restar cero al sustraendo no cambia el minuendo. La diferencia se conserva al modificar ambos términos por igual. La prueba de la resta suma diferencia y sustraendo para recuperar el minuendo.

Qué es una resta y cuáles son sus elementos

Restar consiste en quitar una cantidad de otra o averiguar cuál es la diferencia entre dos cantidades. Se representa con el signo menos (−). Por ejemplo, en la operación 86 − 24, partimos de 86 y quitamos 24.

En toda resta aparecen tres elementos principales:

1. Minuendo: es la cantidad inicial, es decir, el número del que se resta.
2. Sustraendo: es la cantidad que se quita o se resta.
3. Diferencia: es el resultado obtenido.

En el ejemplo 86 − 24 = 62, el 86 es el minuendo, el 24 es el sustraendo y el 62 es la diferencia.

Cómo se resuelve una resta

Cuando se trabaja con números de varias cifras, se colocan en vertical, haciendo coincidir las unidades con las unidades, las decenas con las decenas y las centenas con las centenas. El minuendo se escribe arriba y el sustraendo debajo. Después, se empieza a calcular por la columna de la derecha.

Observa esta operación:

673
− 248
______
425

En las unidades, no podemos quitar 8 a 3 sin descomponer una decena. Tomamos una decena del 7: el 3 se convierte en 13 y el 7 pasa a ser 6. Después, 13 − 8 = 5. En las decenas, 6 − 4 = 2 y, finalmente, 6 − 2 = 4. Por eso, la diferencia es 425.

En algunas restas, el sustraendo tiene menos cifras que el minuendo. En ese caso, sus cifras se colocan igualmente alineadas a la derecha. Por ejemplo, las unidades del sustraendo deben quedar debajo de las unidades del minuendo, aunque no haya una cifra debajo de las centenas.

Propiedades de la resta

Las propiedades de una operación indican qué sucede cuando se modifican sus términos o se cambia el orden en que se realiza. En la resta es importante no aplicar automáticamente las propiedades de la suma, porque el orden de los números sí influye.

La resta no es conmutativa

La propiedad conmutativa afirma que cambiar el orden de los términos no modifica el resultado. Esto sí ocurre en la suma, pero no en la resta.

Por ejemplo:

15 − 7 = 8
7 − 15 = −8

Los resultados son diferentes. Por tanto, no se puede intercambiar el minuendo y el sustraendo sin cambiar la diferencia. En los primeros cursos, cuando se trabaja solo con números naturales, la segunda operación ni siquiera puede realizarse como una resta de naturales, porque el sustraendo es mayor que el minuendo.

La resta no es asociativa

La propiedad asociativa permite agrupar de distintas maneras varios números sin alterar el resultado. La resta no cumple esta propiedad. Si aparecen varias restas, los paréntesis pueden cambiar el resultado.

Compruébalo:

(20 − 9) − 4 = 11 − 4 = 7
20 − (9 − 4) = 20 − 5 = 15

Como 7 y 15 no son iguales, no es indiferente qué resta se hace primero. Cuando no hay paréntesis, una cadena de restas se resuelve normalmente de izquierda a derecha: primero se calcula la primera resta y después se continúa con el resultado.

El cero como elemento neutro por la derecha

Si restamos cero a un número, el número no cambia. Esta es la propiedad del elemento neutro de la resta:

42 − 0 = 42

El cero funciona como elemento neutro cuando ocupa el lugar del sustraendo. Sin embargo, no ocurre lo mismo si se coloca delante: 0 − 42 no da 42, sino −42. Por eso es más preciso decir que el cero es neutro para la resta por la derecha.

Invarianza al sumar o restar la misma cantidad

Si se añade o se quita el mismo número al minuendo y al sustraendo, la diferencia permanece igual, siempre que las operaciones estén definidas.

Por ejemplo:

18 − 11 = 7
(18 + 5) − (11 + 5) = 23 − 16 = 7

También podemos disminuir ambos términos en la misma cantidad:

(18 − 3) − (11 − 3) = 15 − 8 = 7

La razón es que la distancia entre los dos números no cambia si ambos avanzan o retroceden la misma cantidad en la recta numérica.

Relación entre la resta y la suma

La resta y la suma son operaciones relacionadas. Para recuperar el minuendo, se suma la diferencia y el sustraendo:

diferencia + sustraendo = minuendo

Si 73 − 28 = 45, entonces 45 + 28 = 73. Esta igualdad recibe el nombre de prueba de la resta y permite comprobar si el cálculo se ha hecho correctamente.

También podemos expresar una resta como una suma de un número negativo: 73 − 28 equivale a 73 + (−28). Esta forma de verla resulta especialmente útil cuando se trabaja con números enteros.

Ejercicio sobre las propiedades de la resta

Resuelve las siguientes cuestiones:

1. Calcula 91 − 37.
2. Comprueba el resultado mediante la prueba de la resta.
3. Aplica la propiedad de invarianza y transforma la operación sumando 6 al minuendo y al sustraendo.
4. Explica por qué 37 − 91 no puede tener el mismo resultado que 91 − 37.

Solución razonada

1. La diferencia es 54, porque 91 − 37 = 54.
2. Sumamos la diferencia y el sustraendo: 54 + 37 = 91. El resultado coincide con el minuendo, así que la resta es correcta.
3. Sumamos 6 a los dos términos: (91 + 6) − (37 + 6) = 97 − 43 = 54. La diferencia se mantiene.
4. El orden importa en la resta. 91 − 37 = 54, mientras que 37 − 91 = −54. Como los resultados son distintos, la resta no es conmutativa.

La resta no es conmutativa ni asociativa. Sus relaciones más importantes son que restar cero al minuendo no lo modifica, que la diferencia se conserva al sumar o restar la misma cantidad a los dos términos y que la suma de la diferencia con el sustraendo permite recuperar el minuendo.