Qué son los divisores de un número: explicación y ejemplos

Los divisores de un número son fundamentales para comprender la división exacta y la divisibilidad. En este artículo aprenderás qué significa que un número sea divisor de otro, cómo encontrar todos sus divisores y cómo utilizar esta idea para resolver problemas de agrupación.

Resumen

Los divisores son números que dividen exactamente a otro, con cociente entero y resto cero. Siempre aparecen en parejas de factores, y todo número natural tiene como divisores el 1 y él mismo. Para encontrarlos, se prueban números naturales y se anotan divisor y cociente cuando la división es exacta; la búsqueda puede detenerse en la raíz cuadrada. Los números primos tienen dos divisores, mientras que los compuestos tienen más.

¿Qué son los divisores?

Un número es divisor de otro cuando lo divide exactamente, es decir, cuando el resultado es un número entero y el resto es cero. Por ejemplo, 6 es divisor de 24 porque 24 dividido entre 6 es igual a 4:

24 ÷ 6 = 4

También podemos expresarlo mediante una multiplicación: 6 × 4 = 24. Por tanto, los divisores siempre aparecen formando parejas de factores. En este caso, 6 y 4 son divisores de 24.

Si al realizar la división queda un resto distinto de cero, el número no es divisor. Así, 5 no es divisor de 24, porque 24 ÷ 5 no produce un número entero.

Cuando trabajamos con números naturales, todo número tiene como divisores seguros el 1 y él mismo. Por ejemplo, 1 y 19 son divisores de 19. Los números que solo tienen esos dos divisores se llaman números primos.

Cómo encontrar los divisores de un número

Para obtener la lista completa sin olvidar ninguno, puedes comprobar los números naturales desde 1. Cada vez que una división sea exacta, debes anotar tanto el divisor utilizado como el cociente obtenido.

1. Empieza por 1. Siempre será divisor del número.
2. Divide el número entre 2, 3, 4 y los siguientes números naturales.
3. Si el resto es cero, has encontrado una pareja de divisores: el número entre el que has dividido y el cociente.
4. Continúa hasta comprobar los valores necesarios. Cuando una pareja se repite en orden inverso, ya no aparecen divisores nuevos.
5. Ordena al final todos los divisores de menor a mayor.

También puedes detener la búsqueda cuando llegues a la raíz cuadrada del número. Cada divisor menor que esa raíz se empareja con otro mayor. Si el número es un cuadrado perfecto, la raíz aparece sin pareja distinta: por ejemplo, en 49, el 7 se multiplica por sí mismo.

Ejemplo: divisores de 48

Vamos a buscar todos los divisores de 48. Probamos varios números y observamos si la división es exacta:

• 48 ÷ 1 = 48, así que 1 y 48 son divisores.
• 48 ÷ 2 = 24, por lo que 2 y 24 también lo son.
• 48 ÷ 3 = 16, de modo que añadimos 3 y 16.
• 48 ÷ 4 = 12, así que incluimos 4 y 12.
• 48 ÷ 5 deja resto, por lo que 5 no es divisor.
• 48 ÷ 6 = 8, de manera que 6 y 8 completan las parejas.

Ya no hace falta seguir probando después de 6, porque la raíz cuadrada de 48 está entre 6 y 7. Por tanto, la lista ordenada es:

D(48) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}

Observa que los divisores se pueden emparejar así: 1 × 48, 2 × 24, 3 × 16, 4 × 12 y 6 × 8. Esta comprobación sirve para saber si falta algún número.

Otros ejemplos

Estas son las listas de divisores de algunos números:

• D(7) = {1, 7}
• D(16) = {1, 2, 4, 8, 16}
• D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
• D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
• D(25) = {1, 5, 25}
• D(27) = {1, 3, 9, 27}

Un número primo tiene exactamente dos divisores positivos: el 1 y el propio número. En cambio, un número compuesto tiene más de dos. Por ejemplo, 25 es compuesto porque, además de 1 y 25, también es divisible entre 5.

Ejercicios sobre divisores

Resuelve estas actividades antes de consultar las soluciones:

1. Calcula todos los divisores de 54.
2. Comprueba si 14 es divisor de 238 y explica cómo lo sabes.
3. Una biblioteca quiere colocar 36 libros en grupos iguales, sin que sobre ninguno. ¿Cuántas posibilidades tiene? Indica cuántos grupos habría en cada caso y cuántos libros contendría cada grupo.

Soluciones

1. Las parejas de factores de 54 son 1 × 54, 2 × 27, 3 × 18 y 6 × 9. Por tanto:

D(54) = {1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54}

2. Sí, 14 es divisor de 238, porque 238 ÷ 14 = 17 y la división no deja resto.

3. Hay tantas formas de organizar los libros como divisores positivos tiene 36. Sus divisores son:

D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

Por ello existen 9 posibilidades:

• 1 grupo de 36 libros
• 2 grupos de 18 libros
• 3 grupos de 12 libros
• 4 grupos de 9 libros
• 6 grupos de 6 libros
• 9 grupos de 4 libros
• 12 grupos de 3 libros
• 18 grupos de 2 libros
• 36 grupos de 1 libro